ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения и область значений функции:

а) $y=\frac{1}{16x^2-49}$

б) $y=\sqrt{x^2+4x+3}$

в) $y=\frac{1}{9-25x^2}$

г) $y=\sqrt{3x-x^2+18}$

а) $y=\frac{1}{16x^2-49}$

Область определения:

$$16x^2-49\mathrm{\ne }0;$$$$16x^2\mathrm{\ne }49;$$$$4x\mathrm{\ne }\pm 7;$$$$x\mathrm{\ne }\pm 1,75;$$

Вершина параболы:

$$x_0=0,y_0=-49;$$

Наибольшее значение:

$$y=-\frac{1}{49}(16x^2-49<0);$$

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };-1,75)\cup (-1,75;1,75)\cup (1,75;+\mathrm{\infty });$$$$E(y)=(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{49}]\cup (0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) $y=\sqrt{x^2+4x+3}$

Область определения:

$$x^2+4x+3\ge 0;$$$$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{-4-2}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-4+2}{2}=-1;$$$$(x+3)(x+1)\ge 0;$$$$x\le -3,x\ge -1;$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2;$$$$y_0=4-8+3=-1;$$

Наименьшее значение:

$$y=\sqrt{0}=0;$$

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [-1;+\mathrm{\infty });E(y)=[0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

в) $y=\frac{1}{9-25x^2}$

Область определения:

$$9-25x^2\mathrm{\ne }0;$$$$25x^2\mathrm{\ne }9;$$$$5x\mathrm{\ne }\pm 3;$$$$x\mathrm{\ne }\pm 0,6;$$

Вершина параболы:

$$x_0=0,y_0=9;$$

Наименьшее значение:

$$y=\frac{1}{9}(9-25x^2>0);$$

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };-0,6)\cup (-0,6;0,6)\cup (0,6;+\mathrm{\infty });$$$$E(y)=(-\mathrm{\infty };0)\cup [\frac{1}{9};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

г) $y=\sqrt{3x-x^2+18}$

Область определения:

$$3x-x^2+18\ge 0;$$$$x^2-3x-18\le 0;$$$$D=3^2+4\cdot 18=9+72=81,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{3-9}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{3+9}{2}=6;$$$$(x+3)(x-6)\le 0;$$$$-3\le x\le 6;$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot (-1)}=1,5;$$$$y_0=4,5-2,25+18=20,25;$$

Наибольшее значение:

$$y=\sqrt{20,25}=4,5;$$

Ответ:

$$D(y)=[-3;6];E(y)=[0;4,5]\mathrm{.}$$

а) $y=\frac{1}{16x^2-49}$

Область определения:

Чтобы найти область определения, нам нужно, чтобы знаменатель функции не равнялся нулю:

$$16x^2-49\mathrm{\ne }0.$$

Решим это уравнение:

$$16x^2\mathrm{\ne }49,x^2\mathrm{\ne }\frac{49}{16},x\mathrm{\ne }\pm \frac{7}{4}\mathrm{.}$$

Таким образом, $x\mathrm{\ne }\pm 1,75$.

Область определения:

$$D=(-\mathrm{\infty };-1,75)\cup (-1,75;1,75)\cup (1,75;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Вершина параболы:

Для функции вида $y=\frac{1}{a{x}^2+bx+c}$, парабола, которая описывает знаменатель, имеет вершину в точке $x_0=0$, так как $16x^2-49$ — это парабола, симметричная относительно оси $x$.

Для $x_0=0$:

$$y_0=16(0{)}^2-49=-49.$$

Наибольшее значение функции:

Наибольшее значение будет при условии, что знаменатель выражения $16x^2-49$ отрицателен. Рассмотрим знак выражения:

$$16x^2-49<0\text{при}-1,75<x<1,75.$$

Тогда $y=-\frac{1}{49}$ — это наибольшее значение функции в пределах области.

Область значений:

Так как знаменатель может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и $y$ будет стремиться к нулю, но никогда не достигать его, область значений функции будет:

$$E=(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{49}]\cup (0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) $y=\sqrt{x^2+4x+3}$

Область определения:

Для нахождения области определения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2+4x+3\ge 0.$$

Решаем это неравенство:

$$x^2+4x+3=0.$$

Корни уравнения:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$$$x_1=\frac{-4-2}{2}=-3,x_2=\frac{-4+2}{2}=-1.$$

Теперь раскладываем на множители:

$$(x+3)(x+1)\ge 0.$$

Решение неравенства:

$$x\le -3\text{или}x\ge -1.$$

Таким образом, область определения:

$$D=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [-1;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Вершина параболы:

Для квадратичной функции $x^2+4x+3$, вершина находится в точке:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2.$$

Подставляем $x_0=-2$ в выражение для функции:

$$y_0=(-2{)}^2+4(-2)+3=4-8+3=-1.$$

Наименьшее значение функции:

Наименьшее значение подкоренного выражения $x^2+4x+3$ будет равно 0, когда $x=-3$ или $x=-1$, так как $\sqrt{0}=0$.

Область значений функции:

$$E=[0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

в) $y=\frac{1}{9-25x^2}$

Область определения:

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$9-25x^2\mathrm{\ne }0.$$

Решаем уравнение:

$$25x^2\mathrm{\ne }9,x^2\mathrm{\ne }\frac{9}{25},x\mathrm{\ne }\pm \frac{3}{5}\mathrm{.}$$

Таким образом, область определения:

$$D=(-\mathrm{\infty };-0,6)\cup (-0,6;0,6)\cup (0,6;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Вершина параболы:

Так как знаменатель $9-25x^2$ — это парабола, симметричная относительно оси $x$, вершина будет при $x=0$:

$$y_0=9.$$

Наименьшее значение функции:

Функция $y$ будет принимать наименьшее значение, когда знаменатель положителен, то есть когда $9-25x^2>0$. При этом минимальное значение $y$ будет равно $\frac{1}{9}$ (при $x=0$).

Область значений функции:

$$E=(-\mathrm{\infty };0)\cup [\frac{1}{9};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

г) $y=\sqrt{3x-x^2+18}$

Область определения:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3x-x^2+18\ge 0.$$

Приведем выражение в стандартный вид:

$$-x^2+3x+18\ge 0,x^2-3x-18\le 0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-18)=9+72=81,$$$$x_1=\frac{3-9}{2}=-3,x_2=\frac{3+9}{2}=6.$$

Теперь решаем неравенство:

$$(x+3)(x-6)\le 0,$$

что дает:

$$-3\le x\le 6.$$

Таким образом, область определения:

$$D=[-3;6]\mathrm{.}$$

Вершина параболы:

Вершина параболы для функции $-x^2+3x+18$ будет при:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot (-1)}=1,5.$$

Подставляем $x_0=1,5$ в подкоренное выражение:

$$y_0=3(1,5)-(1,5{)}^2+18=4,5-2,25+18=20,25.$$

Наибольшее значение функции:

Максимальное значение функции будет при $x=1,5$, то есть:

$$y=\sqrt{20,25}=4,5.$$

Область значений:

$$E=[0;4,5]\mathrm{.}$$