ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $x^3=3-2x$

б) $\sqrt{x}=2x-6$

в) $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\frac{3}{x}$

г) $x^{-2}=5x-4$

Решить графически уравнение:

а) $x^3=3-2x$

• $y=x^3$ — кубическая парабола:$$x_0=0,y_0=0;$$$$\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& 1& 8\end{array}$$
• $y=3-2x$ — уравнение прямой:$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& 3& 1\end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x}=2x-6$

• $y=\sqrt{x}$ — ветвь параболы:$$x_0=0,y_0=0;$$$$\begin{array}{cccc}x& 1& 4& 9\\ y& 1& 2& 3\end{array}$$
• $y=2x-6$ — уравнение прямой:$$\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& -4& -2\end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x=4$.

в) $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\frac{3}{x}$

• $y=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ — уравнение ломаной:$$x_0=2,y_0=0;$$$$\begin{array}{ccc}x& 0& 4\\ y& 2& 2\end{array}$$
• $y=\frac{3}{x}$ — уравнение гиперболы:$$x_0=0,y_0=0;$$$$\begin{array}{ccc}x& 1& 3\\ y& 3& 1\end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x=3$.

г) $x^{-2}=5x-4$

• $y=\frac{1}{x^2}$ — уравнение гиперболы:$$x_0=0,y_0=0;$$$$\begin{array}{ccc}x& 1& 0.5\\ y& 1& 4\end{array}$$
• $y=5x-4$ — уравнение прямой:$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& -4& 1\end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x=1$.

а) $x^3=3-2x$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в виде:

$$x^3+2x=3.$$

Теперь это уравнение можно рассматривать как систему двух функций:

1. $y_1=x^3$
2. $y_2=3-2x$

Шаг 2: Построение графиков функций

• График $y_1=x^3$ — это кубическая парабола. Она симметрична относительно начала координат, и её вершина находится в точке $(0,0)$. Для нескольких точек мы можем вычислить значения функции:$$\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& 1& 8\end{array}$$

  Это даст нам точки $(1,1)$ и $(2,8)$. График будет выглядеть как плавная парабола с ветвями, направленными вверх и вниз.

• График $y_2=3-2x$ — это прямая. Для неё найдём несколько точек:$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& 3& 1\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(0,3)$ и $(1,1)$. График будет прямой с углом наклона, направленным вниз.

Шаг 3: Поиск пересечений

Графически решение уравнения $x^3=3-2x$ соответствует точкам пересечения графиков функций $y_1=x^3$ и $y_2=3-2x$.

Из графика видно, что графики пересекаются в точке $x=1$.

Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x}=2x-6$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение:

$$\sqrt{x}=2x-6.$$

Теперь это уравнение можно рассматривать как систему двух функций:

1. $y_1=\sqrt{x}$
2. $y_2=2x-6$

Шаг 2: Построение графиков функций

• График $y_1=\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(0,0)$. Для нескольких точек вычислим:$$\begin{array}{cccc}x& 1& 4& 9\\ y& 1& 2& 3\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(1,1)$, $(4,2)$ и $(9,3)$. График будет представлять собой кривую, начинающуюся от начала координат и поднимающуюся вверх.

• График $y_2=2x-6$ — это прямая. Для неё найдём несколько точек:$$\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& -4& -2\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(1,-4)$ и $(2,-2)$. График будет прямой с углом наклона, направленным вверх.

Шаг 3: Поиск пересечений

Графически решение уравнения $\sqrt{x}=2x-6$ соответствует точкам пересечения графиков функций $y_1=\sqrt{x}$ и $y_2=2x-6$.

Из графика видно, что графики пересекаются в точке $x=4$.

Ответ: $x=4$.

в) $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\frac{3}{x}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение:

$$\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\frac{3}{x}\mathrm{.}$$

Это уравнение можно рассматривать как систему двух функций:

1. $y_1=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$
2. $y_2=\frac{3}{x}$

Шаг 2: Построение графиков функций

• График $y_1=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ — это ломаная линия, которая имеет точку угла в точке $(2,0)$. Для нескольких точек вычислим:$$\begin{array}{ccc}x& 0& 4\\ y& 2& 2\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(0,2)$ и $(4,2)$. График будет выглядеть как буква «V», где вершина находится в точке $(2,0)$.

• График $y_2=\frac{3}{x}$ — это гипербола. Для неё найдём несколько точек:$$\begin{array}{ccc}x& 1& 3\\ y& 3& 1\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(1,3)$ и $(3,1)$. График будет гиперболой, стремящейся к оси абсцисс и ординат, но никогда их не пересекающей.

Шаг 3: Поиск пересечений

Графически решение уравнения $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\frac{3}{x}$ соответствует точкам пересечения графиков функций $y_1=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ и $y_2=\frac{3}{x}$.

.

Из графика видно, что графики пересекаются в точке $x=3$.

Ответ: $x=3$.

г) $x^{-2}=5x-4$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение:

$$x^{-2}=5x-4.$$

Теперь это уравнение можно рассматривать как систему двух функций:

1. $y_1=\frac{1}{x^2}$
2. $y_2=5x-4$

Шаг 2: Построение графиков функций

• График $y_1=\frac{1}{x^2}$ — это гипербола, имеющая вертикальную асимптоту при $x=0$ и горизонтальную асимптоту при $y=0$. Для нескольких точек вычислим:$$\begin{array}{ccc}x& 1& 0.5\\ y& 1& 4\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(1,1)$ и $(0.5,4)$. График будет гиперболой, открывающейся вверх и вправо, стремящейся к асимптотам.

• График $y_2=5x-4$ — это прямая. Для неё найдём несколько точек:$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& -4& 1\end{array}$$

  Это даёт нам точки $(0,-4)$ и $(1,1)$. График будет прямой с углом наклона, направленным вверх.

Шаг 3: Поиск пересечений

Графически решение уравнения $x^{-2}=5x-4$ соответствует точкам пересечения графиков функций $y_1=\frac{1}{x^2}$ и $y_2=5x-4$.

Из графика видно, что графики пересекаются в точке $x=1$.

Ответ: $x=1$.