ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2x^2 + 3x — 4}{3x + 3}$, найдите:

а) $f(x-2)$

б) $f(-x^3) = \frac{2(-x^3)^2 + 3(-x^3) — 4}{3(-x^3) + 3} = \frac{2x^6 — 3x^3 — 4}{3 — 3x^3};$

в) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) — 4}{3\left(\frac{1}{x}\right) + 3} = \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} — 4}{\frac{3}{x} + 3} = \frac{2 + 3x — 4x^2}{3x + 3x^2};$

г) $f(2x^2+3x+5)$

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2x^2 + 3x — 4}{3x + 3}$, найти:

а) $f(x-2) = \frac{2(x-2)^2 + 3(x-2) — 4}{3(x-2) + 3} = \frac{2(x^2 — 4x + 4) + 3x — 6 — 4}{3x — 6 + 3}$;

$$f(x-2) = \frac{2x^2 — 8x + 8 + 3x — 6 — 4}{3x — 3} = \frac{2x^2 — 5x — 2}{3x — 3};$$

б) $f(-x^3) = \frac{2(-x^3)^2 + 3(-x^3) — 4}{3(-x^3) + 3} = \frac{2x^6 — 3x^3 — 4}{3 — 3x^3};$

в) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) — 4}{3\left(\frac{1}{x}\right) + 3} = \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} — 4}{\frac{3}{x} + 3} = \frac{2 + 3x — 4x^2}{3x + 3x^2};$

г) $f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{2(2x^2 + 3x + 5)^2 + 3(2x^2 + 3x + 5) — 4}{3(2x^2 + 3x + 5) + 3}$;

$$f = \frac{2(4x^4 + 9x^2 + 25 + 12x^3 + 20x^2 + 30x) + 6x^2 + 9x + 15 — 4}{6x^2 + 9x + 15 + 3}$$ $$f = \frac{8x^4 + 24x^3 + 58x^2 + 60x + 50 + 6x^2 + 9x + 15 — 4}{6x^2 + 9x + 18}$$ $$f=\frac{8x^4+24x^3+64x^2+69x+61}{6x^2+9x+18}$$

Функция $y = f(x)$, где:

$$f(x) = \frac{2x^2 + 3x — 4}{3x + 3}.$$

Необходимо найти:

1. $f(x-2)$
2. $f(-x^3)$
3. $f\left(\frac{1}{x}\right)$
4. $f(2x^2 + 3x + 5)$

а) Нахождение $f(x-2)$

Шаг 1: Подставляем $x-2$ в выражение для функции $f(x)$.

$$f(x-2) = \frac{2(x-2)^2 + 3(x-2) — 4}{3(x-2) + 3}$$

Шаг 2: Раскрываем скобки в числителе и знаменателе.

• Числитель:

$$2(x-2)^2 = 2(x^2 — 4x + 4) = 2x^2 — 8x + 8$$ $$3(x-2) = 3x — 6$$

Теперь подставляем все это в числитель:

$$2(x-2{)}^2+3(x-2)-4=2x^2-8x+8+3x-6-4=$$

$$2(x-2)^2 + 3(x-2) — 4 = 2x^2 — 8x + 8 + 3x — 6 — 4 = 2x^2 — 8x + 3x + 8 — 6 — 4 = 2x^2 — 5x — 2$$

• Знаменатель:

$$3(x-2) + 3 = 3x — 6 + 3 = 3x — 3$$

Шаг 3: Подставляем полученные выражения в результат.

$$f(x-2) = \frac{2x^2 — 5x — 2}{3x — 3}$$

Ответ для $a)$:

$$f(x-2) = \frac{2x^2 — 5x — 2}{3x — 3}.$$

б) Нахождение $f(-x^3)$

Шаг 1: Подставляем $-x^3$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$.

$$f(-x^3) = \frac{2(-x^3)^2 + 3(-x^3) — 4}{3(-x^3) + 3}$$

Шаг 2: Раскрываем все степени и произведения.

• Числитель:

$$(-x^3)^2 = x^6 \quad \text{(квадрат отрицательного числа дает положительное)}$$

Таким образом, числитель становится:

$$2x^6 + 3(-x^3) — 4 = 2x^6 — 3x^3 — 4$$

• Знаменатель:

$$3(-x^3) + 3 = -3x^3 + 3 = 3 — 3x^3$$

Шаг 3: Подставляем все в результат:

$$f(-x^3) = \frac{2x^6 — 3x^3 — 4}{3 — 3x^3}$$

Ответ для $б)$:

$$f(-x^3) = \frac{2x^6 — 3x^3 — 4}{3 — 3x^3}.$$

в) Нахождение $f\left(\frac{1}{x}\right)$

Шаг 1: Подставляем $\frac{1}{x}$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$.

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) — 4}{3\left(\frac{1}{x}\right) + 3}$$

Шаг 2: Раскрываем дроби и приводим выражения.

• Числитель:

$$\left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$$ $$2\left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{2}{x^2}, \quad 3\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}$$

Теперь числитель будет:

$$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} — 4$$

• Знаменатель:

$$3\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}$$

Теперь знаменатель будет:

$$\frac{3}{x} + 3$$

Шаг 3: Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю.

• Числитель:

$$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} — 4 = \frac{2 + 3x — 4x^2}{x^2}$$

• Знаменатель:

$$\frac{3}{x} + 3 = \frac{3 + 3x}{x}$$

Шаг 4: Подставляем в результат:

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{2 + 3x — 4x^2}{x^2}}{\frac{3 + 3x}{x}} = \frac{2 + 3x — 4x^2}{3x + 3x^2}$$

Ответ для $в)$:

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2 + 3x — 4x^2}{3x + 3x^2}.$$

г) Нахождение $f(2x^2 + 3x + 5)$

Шаг 1: Подставляем $2x^2 + 3x + 5$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$.

$$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{2(2x^2 + 3x + 5)^2 + 3(2x^2 + 3x + 5) — 4}{3(2x^2 + 3x + 5) + 3}$$

Шаг 2: Сначала найдем квадрат выражения $(2x^2 + 3x + 5)^2$.

Для этого используем формулу квадрата суммы:

$$(2x^2 + 3x + 5)^2 = (2x^2)^2 + 2(2x^2)(3x) + 2(2x^2)(5) + (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$$

Выполним вычисления:

$$(2x^2 + 3x + 5)^2 = 4x^4 + 12x^3 + 20x^2 + 9x^2 + 30x + 25$$ $$= 4x^4 + 12x^3 + 29x^2 + 30x + 25$$

Шаг 3: Теперь подставим это в числитель:

$$2(2x^2+3x+5{)}^2=2(4x^4+12x^3+29x^2+30x+25)=$$

$$2(2x^2 + 3x + 5)^2 = 2(4x^4 + 12x^3 + 29x^2 + 30x + 25) = 8x^4 + 24x^3 + 58x^2 + 60x + 50$$

Теперь добавим $3(2x^2 + 3x + 5)$:

$$3(2x^2 + 3x + 5) = 6x^2 + 9x + 15$$

Теперь числитель:

$$8x^4+24x^3+58x^2+60x+50+6x^2+9x+15-4=$$

$$8x^4 + 24x^3 + 58x^2 + 60x + 50 + 6x^2 + 9x + 15 — 4 = 8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61$$

Шаг 4: Знаменатель:

$$3(2x^2 + 3x + 5) + 3 = 6x^2 + 9x + 15 + 3 = 6x^2 + 9x + 18$$

Шаг 5: Подставляем в окончательную форму:

$$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61}{6x^2 + 9x + 18}$$

Ответ для $г)$:

$$f(2x^2+3x+5)=\frac{8x^4+24x^3+64x^2+69x+61}{6x^2+9x+18}\mathrm{.}$$