ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{x^2-3x+2}$

б) $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}$

в) $y=\sqrt{x^2+4x-12}$

г) $y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{49-x^2}}$

Найти область определения функции:

а) $y=\sqrt{x^2-3x+2}$

Область определения:
$x^2-3x+2\ge 0;$
$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1,\text{тогда:}$
$x_1=\frac{3-1}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{3+1}{2}=2;$
$(x-1)(x-2)\ge 0;$
$x\le 1,x\ge 2;$
Ответ: $D(y)=(-\mathrm{\infty };1]\cup [2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

б) $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}$

Область определения:
$x^2-4>0;$
$(x+2)(x-2)>0;$
$x<-2,x>2;$
Ответ: $D(y)=(-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

в) $y=\sqrt{x^2+4x-12}$

Область определения:
$x^2+4x-12\ge 0;$
$D=4^2+4\cdot 12=16+48=64,\text{тогда:}$
$x_1=\frac{-4-8}{2}=-6\text{и}{x}_2=\frac{-4+8}{2}=2;$
$(x+6)(x-2)\ge 0;$
$x\le -6,x\ge 2;$
Ответ: $D(y)=(-\mathrm{\infty };-6]\cup [2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

г) $y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{49-x^2}}$

Область определения:
$49-x^2>0;$
$x^2-49<0;$
$(x+7)(x-7)<0;$
$-7<x<7;$
Ответ: $D(y)=(-7;7)\mathrm{.}$

а) $y=\sqrt{x^2-3x+2}$

Шаг 1: Условие для области определения

Для того чтобы функция была определена, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным (поскольку извлечение квадратного корня из отрицательных чисел в реальной области чисел не определено).

То есть, необходимо, чтобы:

$$x^2-3x+2\ge 0.$$

Шаг 2: Разбор квадратичной функции

Для того чтобы решить неравенство, первым шагом найдем корни уравнения $x^2-3x+2=0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант ($D$) для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ равен:

$$D=b^2-4ac\mathrm{.}$$

В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=2$. Подставляем значения:

$$D=(-3{)}^2-4(1)(2)=9-8=1.$$

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3-1}{2}=1,$$$$x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3+1}{2}=2.$$

Шаг 3: Разложение на множители

Теперь, когда мы нашли корни, можем разложить выражение $x^2-3x+2$ на множители:

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\mathrm{.}$$

Шаг 4: Исследование знака выражения

Необходимо решить неравенство:

$$(x-1)(x-2)\ge 0.$$

Для этого нужно исследовать знак произведения на интервалах, определяемых корнями $x=1$ и $x=2$. Разбиваем числовую ось на три интервала: $(-\mathrm{\infty },1)$, $(1,2)$ и $(2,+\mathrm{\infty })$.

1. На интервале $(-\mathrm{\infty },1)$ оба множителя $(x-1)$ и $(x-2)$ отрицательны, их произведение положительно.
2. На интервале $(1,2)$ множитель $(x-1)$ положителен, а $(x-2)$ отрицателен, их произведение отрицательно.
3. На интервале $(2,+\mathrm{\infty })$ оба множителя $(x-1)$ и $(x-2)$ положительны, их произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства $(x-1)(x-2)\ge 0$ — это:

$$x\le 1\text{или}x\ge 2.$$

Шаг 5: Описание области определения

Ответ: область определения функции:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };1]\cup [2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}$

Шаг 1: Условие для области определения

Функция будет определена, если знаменатель выражения $\sqrt{x^2-4}$ не равен нулю, а также если под корнем стоит неотрицательное число. То есть нужно, чтобы:

$$x^2-4>0.$$

Почему строго больше нуля? Потому что знаменатель не может быть равен нулю, а также не может быть отрицательным (так как корень из отрицательного числа в области действительных чисел не существует).

Шаг 2: Решение неравенства

Решим неравенство:

$$x^2-4>0.$$

Разлагаем его на множители:

$$(x+2)(x-2)>0.$$

Теперь решаем это неравенство. Чтобы понять, на каких интервалах произведение $(x+2)(x-2)$ больше нуля, рассматриваем следующие интервалы:

• $(-\mathrm{\infty },-2)$,
• $(-2,2)$,
• $(2,+\mathrm{\infty })$.

1. На интервале $(-\mathrm{\infty },-2)$ оба множителя отрицательны, произведение положительное.
2. На интервале $(-2,2)$ множители имеют противоположные знаки, произведение отрицательное.
3. На интервале $(2,+\mathrm{\infty })$ оба множителя положительны, произведение положительное.

Таким образом, решение неравенства $(x+2)(x-2)>0$ — это:

$$x<-2\text{или}x>2.$$

Шаг 3: Описание области определения

Ответ: область определения функции:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

в) $y=\sqrt{x^2+4x-12}$

Шаг 1: Условие для области определения

Для того чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2+4x-12\ge 0.$$

Шаг 2: Решение неравенства

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $x^2+4x-12=0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-4-\sqrt{64}}{2(1)}=\frac{-4-8}{2}=-6,$$$$x_2=\frac{-4+\sqrt{64}}{2(1)}=\frac{-4+8}{2}=2.$$

Шаг 3: Разложение на множители

Теперь, когда мы нашли корни, можем разложить выражение $x^2+4x-12$ на множители:

$$x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\mathrm{.}$$

Шаг 4: Исследование знака выражения

Необходимо решить неравенство:

$$(x+6)(x-2)\ge 0.$$

Для этого рассматривали интервалы:

• $(-\mathrm{\infty },-6)$,
• $(-6,2)$,
• $(2,+\mathrm{\infty })$.

1. На интервале $(-\mathrm{\infty },-6)$ оба множителя отрицательны, их произведение положительно.
2. На интервале $(-6,2)$ множители имеют противоположные знаки, произведение отрицательное.
3. На интервале $(2,+\mathrm{\infty })$ оба множителя положительны, их произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства $(x+6)(x-2)\ge 0$ — это:

$$x\le -6\text{или}x\ge 2.$$

Шаг 5: Описание области определения

Ответ: область определения функции:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };-6]\cup [2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

г) $y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{49-x^2}}$

Шаг 1: Условие для области определения

Для того чтобы функция была определена, под корнем не может быть отрицательное число, и знаменатель не может быть равен нулю:

$$49-x^2>0.$$

Шаг 2: Решение неравенства

Решим неравенство:

$$49-x^2>0.$$

Перепишем его как:

$$x^2<49.$$

Извлекаем корень:

$$-7<x<7.$$

Шаг 3: Описание области определения

Ответ: область определения функции:

$$D(y)=(-7;7)\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

а) $D(y)=(-\mathrm{\infty };1]\cup [2;+\mathrm{\infty })$.

б) $D(y)=(-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

в) $D(y)=(-\mathrm{\infty };-6]\cup [2;+\mathrm{\infty })$.

г) $D(y)=(-7;7)$.