ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции:

а) $y=\sqrt{x}$;

б) $y=\sqrt{x-3}$;

в) $y=-\sqrt{x}$;

г) $y=-\sqrt{x}+2$

Построить график заданной функции, найти область определения и область значений функции:

а) $y=\sqrt{x}$;

Построим график функции $y=\sqrt{x}$:

Ответ:
$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$;
$E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

б) $y=\sqrt{x-3}$;

Построим график функции $y=\sqrt{x}$;
Перенесем его на 3 единицы вправо:

Ответ:
$D(y)=[3;+\mathrm{\infty })$;
$E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

в) $y=-\sqrt{x}$;

Построим график функции $y=\sqrt{x}$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

Ответ:
$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$;
$E(y)=(-\mathrm{\infty };0]$.

г) $y=-\sqrt{x}+2$;

Построим график функции $y=\sqrt{x}$;
Отразим его относительно оси абсцисс;
Перенесем его на 2 единицы вверх:

Ответ:
$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$;
$E(y)=(-\mathrm{\infty };2]$.

а) $y=\sqrt{x}$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=\sqrt{x}$ имеет подкоренное выражение $x$, которое должно быть неотрицательным, так как из подкоренного выражения нельзя извлечь квадратный корень из отрицательных чисел (в рамках вещественных чисел). Следовательно, для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы $x\ge 0$.

Таким образом, область определения функции:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Область значений $E(y)$

Функция $y=\sqrt{x}$ для $x\ge 0$ принимает только неотрицательные значения. При $x=0$ функция даёт значение $y=0$. По мере увеличения $x$ значение функции также будет увеличиваться. Таким образом, область значений функции:

$$E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 3: Построение графика

График функции $y=\sqrt{x}$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0,0)$ и увеличивается по мере увеличения $x$. График будет плавно возрастать, так как функция растёт медленно (корень из числа растёт медленно с увеличением $x$).

График функции:

Ответ:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty }),E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

б) $y=\sqrt{x-3}$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=\sqrt{x-3}$ имеет подкоренное выражение $x-3$, которое должно быть неотрицательным, так как из подкоренного выражения нельзя извлечь квадратный корень из отрицательных чисел. Для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы:

$$x-3\ge 0$$

Решая это неравенство:

$$x\ge 3$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(y)=[3;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Область значений $E(y)$

Для $x\ge 3$ функция $y=\sqrt{x-3}$ принимает неотрицательные значения. Когда $x=3$, функция даёт значение $y=\sqrt{3-3}=0$. По мере увеличения $x$, значение $y$ будет увеличиваться. Следовательно, область значений:

$$E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 3: Построение графика

График функции $y=\sqrt{x-3}$ будет выглядеть аналогично графику $y=\sqrt{x}$, но сдвинутым на 3 единицы вправо. То есть, вместо того чтобы начинаться с точки $(0,0)$, график начнётся в точке $(3,0)$ и будет возрастать по мере увеличения $x$.

График функции:

Ответ:

$$D(y)=[3;+\mathrm{\infty }),E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

в) $y=-\sqrt{x}$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=-\sqrt{x}$ имеет подкоренное выражение $x$, которое должно быть неотрицательным, так как из подкоренного выражения нельзя извлечь квадратный корень из отрицательных чисел. Следовательно, для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы:

$$x\ge 0$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Область значений $E(y)$

Функция $y=-\sqrt{x}$ принимает только отрицательные значения или ноль, так как для всех $x\ge 0$ функция будет иметь значение, равное отрицательному корню из $x$. При $x=0$, функция даёт $y=-\sqrt{0}=0$. По мере увеличения $x$, $y$ будет уменьшаться, так как корень из $x$ будет расти, а знак минус перед корнем делает значение функции отрицательным.

Таким образом, область значений:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };0]$$

Шаг 3: Построение графика

График функции $y=-\sqrt{x}$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0,0)$ и убывает по мере увеличения $x$. График будет плавно опускаться, так как корень из $x$ растёт медленно, а знак минус делает значения функции отрицательными.

График функции:

Ответ:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty }),E(y)=(-\mathrm{\infty };0]$$

г) $y=-\sqrt{x}+2$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=-\sqrt{x}+2$ имеет подкоренное выражение $x$, которое должно быть неотрицательным, так как из подкоренного выражения нельзя извлечь квадратный корень из отрицательных чисел. Следовательно, для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы:

$$x\ge 0$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Область значений $E(y)$

Функция $y=-\sqrt{x}+2$ имеет форму, аналогичную функции $y=-\sqrt{x}$, но сдвинутую на 2 единицы вверх. Это означает, что график функции будет начинаться в точке $(0,2)$ и будет убывать по мере увеличения $x$, так как знак минус перед корнем делает значения функции отрицательными. При $x=0$, $y=2$. По мере увеличения $x$, $y$ будет уменьшаться, но оставаться не больше 2.

Таким образом, область значений:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };2]$$

Шаг 3: Построение графика

График функции $y=-\sqrt{x}+2$ будет представлять собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке $(0,2)$. График будет спадать по мере увеличения $x$.

График функции:

Ответ:

$$D(y)=[0;+\mathrm{\infty }),E(y)=(-\mathrm{\infty };2]$$