ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$;

б) $y = -\sin x + 3$

Построить график функции:

а) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$;

Построим график функции $y = \sin x$;

Переместим его на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево;

Отразим его относительно оси абсцисс;

б) $y = -\sin x + 3$;

Построим график функции $y = \sin x$;

Отразим его относительно оси абсцисс;

Переместим его на 3 единицы вверх;

База преобразований

• $y=\sin x$: период $2\pi$, амплитуда $1$, средняя линия $y=0$, вершины $=1$ при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, впадины $=-1$ при $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$, нули при $x=\pi k$.
• Горизонтальный сдвиг: $\sin(x-a)$ — вправо на $a$; $\sin(x+a)$ — влево на $a$.
• Отражение относительно оси $Ox$: $y=-f(x)$ переворачивает график по вертикали (максимумы ↔ минимумы, нули остаются).
• Вертикальный сдвиг: $y=f(x)+d$ поднимает/опускает на $d$, средняя линия становится $y=d$, диапазон $[d-1,d+1]$.

а) $y=-\sin\!\Big(x+\tfrac{\pi}{6}\Big)$

Параметры

• Область определения: $\mathbb{R}$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: $1$.
• Средняя линия: $y=0$ (вертикального сдвига нет).
• Диапазон значений: $[-1,1]$.
• Преобразования: сдвиг влево на $\tfrac{\pi}{6}$, затем отражение относительно $Ox$.

Опорные точки (за один «шаблонный» ход)

Удобно взять точки, сдвинутые на $-\tfrac{\pi}{6}$, а затем учесть «минус»:

$$\begin{aligned} x&=\tfrac{\pi}{6} \!-\! \tfrac{\pi}{6}=0 \quad &&\Rightarrow\ y=-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=-\tfrac12,\\ x&=\tfrac{\pi}{2} \!-\! \tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3} \quad &&\Rightarrow\ y=-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=-1\ \ (\text{минимум}),\\ x&=\pi \!-\! \tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6} \quad &&\Rightarrow\ y=-\sin(\pi)=0\ \ (\text{нуль/перегиб}),\\ x&=\tfrac{3\pi}{2} \!-\! \tfrac{\pi}{6}=\tfrac{4\pi}{3} \quad &&\Rightarrow\ y=-\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=1\ \ (\text{максимум}),\\ x&=2\pi \!-\! \tfrac{\pi}{6}=\tfrac{11\pi}{6} \quad &&\Rightarrow\ y=-\sin(2\pi)=0\ \ (\text{нуль/перегиб}). \end{aligned}$$

Нули и экстремумы

• Нули: $\sin(x+\tfrac{\pi}{6})=0 \Rightarrow x+\tfrac{\pi}{6}=\pi n \Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi n$.
  В $[0,2\pi]$: $x=\tfrac{5\pi}{6},\ \tfrac{11\pi}{6}$.
• Максимумы: когда $\sin(x+\tfrac{\pi}{6})=-1\Rightarrow x+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\Rightarrow x=\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k$, значение $y=1$.
• Минимумы: когда $\sin(x+\tfrac{\pi}{6})=1\Rightarrow x+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi k$, значение $y=-1$.

Монотонность (через производную $y’=-\cos(x+\tfrac{\pi}{6})$)

• Критические точки: $\cos(x+\tfrac{\pi}{6})=0 \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k$.
• На $[0,2\pi]$:
  убывает на $(0,\tfrac{\pi}{3})$, возрастает на $(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3})$, убывает на $(\tfrac{4\pi}{3},2\pi)$.

Выпуклость (вторая производная $y»=\sin(x+\tfrac{\pi}{6})$)

• Вниз (вогнута вниз, $y»<0$) на $(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6})$.
• Вверх (выпукла вверх, $y»>0$) на $(0,\tfrac{5\pi}{6})$ и $(\tfrac{11\pi}{6},2\pi)$.
• Точки перегиба: там, где $y»=0$, т.е. $x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi n$ → в $[0,2\pi]$: $x=\tfrac{5\pi}{6},\ \tfrac{11\pi}{6}$ (совпадают с нулями $y$).

Пересечения с осями

• С $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=-\tfrac12$.
• С $Ox$: как выше — при $x=\tfrac{5\pi}{6},\ \tfrac{11\pi}{6}$.

Как построить (на бумаге)

1. Разметьте по $x$ узлы: $0,\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{5\pi}{6},\ \tfrac{4\pi}{3},\ \tfrac{11\pi}{6},\ 2\pi$.
2. Поставьте точки: $(0,-\tfrac12)$, минимум $(\tfrac{\pi}{3},-1)$, нуль/перегиб $(\tfrac{5\pi}{6},0)$, максимум $(\tfrac{4\pi}{3},1)$, нуль/перегиб $(\tfrac{11\pi}{6},0)$.
3. Соедините плавной синусоидой, следя за убыванием/возрастанием и выпуклостью на указанных интервалах.
4. Продолжайте периодически с шагом $2\pi$.

б) $y=-\sin x+3$

Параметры

• Область определения: $\mathbb{R}$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: $1$.
• Средняя линия: $y=3$.
• Диапазон значений: $[2,4]$.
• Преобразования: сначала отражение $y=-\sin x$, затем подъём вверх на $3$.

Опорные точки (за период $[0,2\pi]$)

$$(0,3),\quad \Big(\tfrac{\pi}{2},\,2\Big)\ \text{(минимум)},\quad (\pi,3),\quad \Big(\tfrac{3\pi}{2},\,4\Big)\ \text{(максимум)},\quad (2\pi,3).$$

Нули и экстремумы

• Нули: $-\sin x+3=0 \Rightarrow \sin x=3$ — нет решений (график не пересекает $Ox$).
• Максимумы: $x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k$, значение $y=4$.
• Минимумы: $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$, значение $y=2$.

Монотонность (производная $y’=-\cos x$)

• Критические точки: $\cos x=0 \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$.
• На $[0,2\pi]$: убывает на $(0,\tfrac{\pi}{2})$ и $(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$; возрастает на $(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})$.

Выпуклость (вторая производная $y»=\sin x$)

• Вверх ($y»>0$) на $(0,\pi)$.
• Вниз ($y»<0$) на $(\pi,2\pi)$.
• Точки перегиба: $x=\pi k$ (в $[0,2\pi]$: $0,\ \pi,\ 2\pi$), значения $y=3$.

Пересечения с осями

• С $Oy$: $x=0\Rightarrow y=3$.
• С $Ox$: отсутствуют (диапазон $[2,4]$ — весь график выше оси $Ox$).

Как построить (на бумаге)

1. Проведите среднюю линию $y=3$; отметьте уровни $y=2$ (впадины) и $y=4$ (вершины).
2. Разметьте по $x$: $0,\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \tfrac{3\pi}{2},\ 2\pi$.
3. Поставьте опорные точки и соедините плавной волной: вниз к минимуму $(\tfrac{\pi}{2},2)$, вверх к $(\pi,3)$, далее к максимуму $(\tfrac{3\pi}{2},4)$, затем обратно к $(2\pi,3)$.
4. Повторите периодически с шагом $2\pi$.