ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = f(x) является нечетной, если:

а) $f(x) = x + \sin x$;

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2$;

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9}$;

г) $f(x) = x^3 — \sin x$

Доказать, что функция $y = f(x)$ является нечетной, если:

а) $f(x) = x + \sin x$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = -x + \sin(-x) = -x — \sin x = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = (-x)^3 \cdot \sin(-x)^2 = -x^3 \cdot \sin x^2 = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9}$;

Область определения функции:
$x^2 — 9 \neq 0;$
$x^2 \neq 9;$
$x \neq \pm 3;$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 — 9} = \frac{x^2 \cdot (-\sin x)}{x^2 — 9};$
$f(-x) = -\frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9} = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

г) $f(x) = x^3 — \sin x$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = (-x)^3 — \sin(-x) = -x^3 + \sin x = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

Определение. Функция $f$ называется нечётной на своей области определения $D(f)$, если:

1. Область определения симметрична относительно нуля: из $x\in D(f)$ следует $-x\in D(f)$;
2. Для всех $x\in D(f)$ выполнено равенство

$$f(-x) = -\,f(x).$$

Замечания/инструменты:

• Базовые паритеты:
  $\sin(-x)=-\sin x$ (синус — нечётная функция),
  $x^n$ — чётная при чётном $n$ и нечётная при нечётном $n$.
• Алгебра паритетов (при симметричной области определения):
  • сумма/разность двух нечётных — нечётная;
  • произведение нечётной и чётной — нечётная;
  • произведение двух нечётных — чётная;
  • частное «нечётная / чётная» — нечётная (если знаменатель не обращается в ноль и является чётным).
• Составная функция: если $g$ — чётная и $h$ определена на значениях $g$, то $h\!\circ\! g$ — чётная, потому что $g(-x)=g(x)\Rightarrow h(g(-x))=h(g(x))$.

Ниже в каждом пункте строго проверяем (i) симметрию области и (ii) равенство $f(-x)=-f(x)$.

а) $f(x) = x + \sin x$

1) Область определения.
И $x$, и $\sin x$ определены при всех $x\in\mathbb{R}$. Значит,

$$D(f)=(-\infty,+\infty),$$

что симметрично относительно нуля.

2) Проверка нечётности.
Пользуемся $\sin(-x)=-\sin x$:

$$f(-x)=(-x)+\sin (-x)=-x-\sin x=$$

$$f(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x — \sin x = -\bigl(x+\sin x\bigr) = -f(x).$$

Условие выполнено для всех $x$, следовательно, $f$ — нечётная.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin(x^2)$

1) Область определения.
Обе функции $x^3$ и $\sin(x^2)$ определены при всех $x\in\mathbb{R}$. Значит,

$$D(f)=(-\infty,+\infty),$$

область симметрична.

2) Паритет подфункций.

• $x^3$ — нечётная: $(-x)^3=-x^3$.
• $x^2$ — чётная: $(-x)^2=x^2$.
• Тогда $\sin(x^2)$ — чётная, т.к. $\sin\bigl((-x)^2\bigr)=\sin(x^2)$.

3) Проверка нечётности напрямую.

$$f(-x)=(-x{)}^3\cdot \sin ((-x{)}^2)=(-x^3)\cdot \sin (x^2)=$$

$$f(-x)=(-x)^3\cdot \sin\bigl((-x)^2\bigr)=(-x^3)\cdot \sin(x^2)=-\bigl(x^3\sin(x^2)\bigr)=-f(x).$$

Либо по «алгебре паритетов»: нечётная $\times$ чётная $=$ нечётная. Значит, $f$ — нечётная.

в) $f(x) = \dfrac{x^2 \cdot \sin x}{\,x^2 — 9\,}$

1) Область определения.
Требуем знаменатель $\neq 0$:

$$x^2-9\neq 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2\neq 9 \;\Longleftrightarrow\; x\neq \pm 3.$$

Значит,

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}.$$

Эта область симметрична: если $x\in D(f)$, то $-x\notin\{-3,3\}$ и, следовательно, $-x\in D(f)$.

2) Паритет числителя и знаменателя.

• $x^2$ — чётная.
• $\sin x$ — нечётная.
• Произведение $x^2\cdot \sin x$ — нечётная функция (чётная $\times$ нечётная).
• $x^2-9$ — чётная (разность чётной функции $x^2$ и константы, причём константа — чётная).

3) Проверка нечётности напрямую (на всех $x\in D(f)$).

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^2\cdot \sin (-x)}{(-x{)}^2-9}=\frac{x^2\cdot (-\sin x)}{x^2-9}=$$

$$f(-x)=\frac{(-x)^2\cdot \sin(-x)}{\,(-x)^2-9\,} =\frac{x^2\cdot (-\sin x)}{\,x^2-9\,} = -\,\frac{x^2\cdot \sin x}{\,x^2-9\,} = -f(x).$$

Или по правилу паритетов для частного: «нечётная / чётная» (при допустимых $x$) — нечётная. Следовательно, $f$ — нечётная.

г) $f(x) = x^3 — \sin x$

1) Область определения.
Обе части определены на $\mathbb{R}$, значит

$$D(f)=(-\infty,+\infty),$$

область симметрична.

2) Паритет слагаемых.

• $x^3$ — нечётная;
• $\sin x$ — нечётная.

3) Проверка нечётности.
Напрямую:

$$f(-x)=(-x{)}^3-\sin (-x)=-x^3+\sin x=$$

$$f(-x)=(-x)^3-\sin(-x)=-x^3+\sin x=-(x^3-\sin x)=-f(x).$$

Либо по алгебре паритетов: разность (или сумма) двух нечётных функций — нечётная. Следовательно, $f$ — нечётная.