ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = f(x) является чётной, если:

а) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$;

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1}$;

в) $f(x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

г) $f(x) = \sin^2 x — x^4$

Доказать, что функция $y = f(x)$ является четной, если:

а) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = (-x)^5 \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right) = -x^5 \cdot \left( -\sin \frac{x}{2} \right);$
$f(-x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2} = f(x);$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1}$;

Область определения функции:
$x^2 — 1 \neq 0;$
$x^2 \neq 1;$
$x \neq \pm 1;$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{(-\sin x)^2}{x^2 — 1} = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1} = f(x);$

Что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

Область определения функции:
$x \neq 0;$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \frac{2 \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right)}{(-x)^3} = \frac{-2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3} = f(x);$

Что и требовалось доказать.

г) $f(x) = \sin^2 x — x^4$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \sin^2(-x) — (-x)^4 = (-\sin x)^2 — x^4;$
$f(-x) = \sin^2 x — x^4 = f(x);$

Что и требовалось доказать.

Функция $f$ называется чётной, если выполняются два условия:

1. Симметрия области определения. Если $x$ принадлежит области определения $D_f$, то и $-x$ принадлежит $D_f$.
   (Коротко: $D_f$ симметрична относительно нуля.)
2. Равенство значений при замене $x\to -x$. Для всех $x\in D_f$ верно

$$f(-x)=f(x).$$

Полезные тождества и «правила чётности», которые будем использовать

• Степень с нечётным показателем: $(-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}$ (нечётная),
  с чётным показателем: $(-x)^{2k}=x^{2k}$ (чётная).
• Тригонометрия: $\sin(-u)=-\sin u$ (синус — нечётная функция).
  Отсюда $\sin^2(-u)=(\sin(-u))^2=(-\sin u)^2=\sin^2 u$ (квадрат синуса — чётная функция).
• Композиция с линейным аргументом. Если $\sin$ нечётная, то $\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)$ тоже нечётная:

  $$\sin\!\left(-\tfrac{x}{2}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).$$

• Алгебра правил чётности.
  Произведение двух нечётных — чётная;
  частное нечётной на нечётную (где определено) — чётная;
  сумма/разность двух чётных — чётная.

a) $f(x)=x^5\cdot \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)$

1) Область определения

Это произведение многочлена и тригонометрической функции без деления на ноль и без корней чётной степени под знаком радикала, значит

$$D_f=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).$$

Множество $\mathbb{R}$ симметрично относительно нуля, т.е. если $x\in\mathbb{R}$, то и $-x\in\mathbb{R}$. Условие 1) выполнено.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$

$$\begin{aligned} f(-x) &=(-x)^5\cdot \sin\!\left(-\tfrac{x}{2}\right)\\ &=\big(-x^5\big)\cdot\big(-\sin\!\tfrac{x}{2}\big) \quad \text{(т.к. \(5\) нечётно и \(\sin\) нечётна)}\\ &=x^5\cdot \sin\!\tfrac{x}{2}\\ &=f(x). \end{aligned}$$

Следовательно, условие 2) выполнено ⇒ функция чётная.

б) $f(x)=\dfrac{\sin^2 x}{x^2-1}$

1) Область определения

Делитель не должен обращаться в ноль:

$$x^2-1\neq 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2\neq 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\neq\pm1.$$

Значит

$$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.$$

Проверим симметрию: если $x\neq\pm1$, то и $-x\neq\pm1$ (ведь $-1$ и $1$ исключены попарно). Следовательно, $D_f$ симметрично. Условие 1) выполнено.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$

Числитель:

$$\sin^2(-x)=(\sin(-x))^2=(-\sin x)^2=\sin^2 x.$$

Знаменатель:

$$(-x)^2-1=x^2-1.$$

Итак,

$$f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}=f(x).$$

Условие 2) выполнено ⇒ функция чётная.

в) $f(x)=\dfrac{2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{x^3}$

1) Область определения

Запрещён ноль в знаменателе:

$$x^3\neq 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\neq 0.$$

Следовательно,

$$D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

Симметрия: если $x\neq 0$, то и $-x\neq 0$. Значит $D_f$ симметрично. Условие 1) выполнено.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$

$$\begin{aligned} f(-x) &=\frac{2\sin\!\left(-\tfrac{x}{2}\right)}{(-x)^3}\\ &=\frac{2\cdot\big(-\sin\!\tfrac{x}{2}\big)}{-x^3} \quad \text{(нечётность \(\sin\) и нечётная степень 3)}\\ &=\frac{2\sin\!\tfrac{x}{2}}{x^3}=f(x). \end{aligned}$$

Условие 2) выполнено ⇒ функция чётная.

г) $f(x)=\sin^2 x — x^4$

1) Область определения

И $\sin^2 x$, и $x^4$ определены для всех $x\in\mathbb{R}$, поэтому

$$D_f=\mathbb{R},$$

что симметрично. Условие 1) выполнено.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$

$$\sin^2(-x)=\sin^2 x \quad (\text{как в пункте (б)}), \qquad (-x)^4=x^4.$$

Тогда

$$f(-x)=\sin^2(-x)-(-x)^4=\sin^2 x — x^4=f(x).$$

Условие 2) выполнено ⇒ функция чётная.