ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции у = f(x), где f(x) = sinx, найдите:

а) $f(-x)$

б) $f(2x)$

в) $f(x+1)$

г) $f(x)-5$

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \sin x$, найти:

а) $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x$;

б) $f(2x) = \sin 2x$;

в) $f(x+1) = \sin(x+1)$;

г) $f(x) — 5 = \sin x — 5$

Дана функция $f(x)=\sin x$. По определению композиции: чтобы найти $f(g(x))$, нужно в формуле $f(\,\cdot\,)$ заменить аргумент $x$ на выражение $g(x)$. Для синуса это означает: $f(g(x))=\sin(g(x))$. По умолчанию угол — в радианах.

а) $f(-x)$

1) Подстановка.
$f(-x)=\sin(-x)$.

2) Тождество (чётность/нечётность).
Синус — нечётная функция: $\sin(-t)=-\sin t$. Поэтому

$$f(-x)=\sin(-x)=-\sin x.$$

3) Графическое толкование.
Переход от $f(x)$ к $f(-x)$ — отражение графика относительно оси $Oy$. Для нечётной функции $\sin x$ это совпадает с $-\sin x$, т.е. эквивалентно отражению относительно начала координат.

4) Область определения и значения.

• Область определения: $\mathbb R$.
• Значения: $[-1,1]$ (как и у $\sin x$).

5) Периодичность.
Период остаётся $2\pi$: $\sin(-[x+2\pi])=\sin(-x-2\pi)=-\sin x$.

6) Быстрая проверка.
Возьмём $x=\frac{\pi}{6}$:
$\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$ — верно.

Итог:

$$\boxed{\,f(-x)=-\sin x\,}.$$

б) $f(2x)$

1) Подстановка.
$f(2x)=\sin(2x)$.

2) Упрощение (формула двойного угла).
Полезная эквивалентная форма:

$$\sin(2x)=2\sin x\cos x.$$

(Обе записи корректны; какую использовать — зависит от задачи.)

3) Графическое толкование.
Аргумент умножен на 2 → горизонтальное сжатие в 2 раза. В одну длину периода теперь «укладывается» вдвое больше волн.

4) Период.
У $\sin x$ период $2\pi$. У $\sin(2x)$ период $\displaystyle \frac{2\pi}{2}=\pi$.

5) Амплитуда и значения.
Амплитуда остаётся 1; значения $[-1,1]$.

6) Нули, экстремумы.

• Нули: $2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb Z$ (в 2 раза чаще).
• Максимумы: $2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$, значение $1$.
• Минимумы: $2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$, значение $-1$.

7) Быстрая проверка.
$x=\frac{\pi}{6}$: $\sin(2x)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Через двойной угол: $2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ — сходится.

Итог:

$$\boxed{\,f(2x)=\sin(2x)=2\sin x\cos x\,}.$$

в) $f(x+1)$

1) Подстановка.
$f(x+1)=\sin(x+1)$ (сдвиг аргумента на $+1$ радиан).

2) Формула суммы.

$$\sin(x+1)=\sin x\cdot\cos 1+\cos x\cdot\sin 1.$$

Численно (для интуиции): $\cos 1\approx 0{,}5403$, $\sin 1\approx 0{,}84147$. Это линейная комбинация $\sin x$ и $\cos x$.

3) Графическое толкование.
$x\mapsto x+1$ — сдвиг графика $\sin x$ влево на $1$ радиан (≈ $57{,}3^\circ$). Амплитуда и форма не меняются.

4) Периодичность и значения.

• Период остаётся $2\pi$.
• Значения $[-1,1]$.

5) Нули и экстремумы.

• Нули: $x+1=k\pi \Rightarrow x=k\pi-1$.
• Максимумы: $x+1=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-1+2\pi n$, значение $1$.
• Минимумы: $x+1=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}-1+2\pi n$, значение $-1$.

6) Быстрая проверка.
$x=-1$: $\sin(-1+1)=\sin 0=0$. Совпадает с формулой нулей при $k=0$: $x=0-1=-1$.

Итог:

$$\boxed{\,f(x+1)=\sin(x+1)=\sin x\cos 1+\cos x\sin 1\,}.$$

г) $f(x)-5$

1) Подстановка.
$f(x)-5=\sin x-5$.

2) Графическое толкование.
Это вертикальный сдвиг графика $\sin x$ вниз на 5 единиц. Форма волны не меняется.

3) Амплитуда, середина колебаний, значения.

• Амплитуда остаётся $1$.
• Средняя линия (ось колебаний) смещается с $y=0$ на $y=-5$.
• Значения сдвигаются с $[-1,1]$ на $[-6,-4]$.

4) Период и нули.

• Период прежний: $2\pi$.
• Нулей нет: $\sin x-5=0 \Rightarrow \sin x=5$ — невозможно, т.к. $\sin x\in[-1,1]$.

5) Экстремумы.

• Максимумы: $y_{\max}=-4$ при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
• Минимумы: $y_{\min}=-6$ при $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$.

6) Быстрая проверка.
$x=0$: $\sin 0-5=0-5=-5$ — середина диапазона $[-6,-4]$.

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle f(x)-5=\sin x-5,\text{диапазон }[-6,-4]}}\mathrm{.}$$