ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\sin x = x + \pi$

б) $\sin x = 2x$

в) $\sin x + x = 0$ $$

г) $\sin x=2x-2\pi$$\sin x = 2x — 2\pi$

Решить графически уравнение:

а) $\sin x = x + \pi$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = x + \pi$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = -\pi$.

б) $\sin x = 2x$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = 2x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

в) $\sin x + x = 0$ $\Rightarrow$ $\sin x = -x$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

г) $\sin x = 2x — 2\pi$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = 2x — 2\pi$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = \pi$.

а) $\sin x = x + \pi$

Идея графически. Строим на одной системе координат:

• синусоиду $y=\sin x$ (лежит между $-1$ и $1$);
• прямую $y=x+\pi$ (наклон $1$, пересекает ось $Oy$ в точке $(0,\pi)$).

Ограничение области поиска. Так как $|\sin x|\le 1$, из равенства следует

$$-1 \le x+\pi \le 1 \quad\Rightarrow\quad x\in[-\pi-1,\,-\pi+1].$$

Значит, возможные точки пересечения — только в узком интервале длины $2$ вокруг $-\pi$.

Точная проверка конкретной точки.

$$x=-\pi :\sin (-\pi )=0,$$

$$x=-\pi:\quad \sin(-\pi)=0,\quad x+\pi=-\pi+\pi=0 \;\Rightarrow\; \text{равенство выполнено.}$$

Единственность (почему больше пересечений нет). Рассмотрим функцию

$$f(x)=\sin x — x — \pi.$$

Тогда $f'(x)=\cos x — 1\le 0$ для всех $x$, причём равенство только когда $\cos x=1$ (точки $2\pi k$). Следовательно, $f$ строго убывает (производная не положительна и отрицательна на любом непустом интервале). Убывающая непрерывная функция может иметь не более одного нуля. Мы уже нашли $x=-\pi$, значит он единственный.

Вывод. $\boxed{x=-\pi}$.

б) $\sin x = 2x$

Графически. Синусоида $y=\sin x$ и прямая $y=2x$ (наклон $2$, проходит через начало координат).

Ограничение области. $|\sin x|\le 1 \Rightarrow |2x|\le 1 \Rightarrow x\in[-\tfrac12,\tfrac12]$.
За пределами этого отрезка прямая $y=2x$ имеет по модулю значение больше 1, с синусоидой пересечений быть не может.

Точная точка.

$$x=0:\quad \sin 0=0,\quad 2\cdot 0=0.$$

Единственность. Пусть $g(x)=\sin x — 2x$. Тогда

$$g'(x)=\cos x — 2 \le 1-2=-1<0\quad \text{для всех }x.$$

Значит, $g$ строго убывает на всей $\mathbb{R}$, а у строго убывающей функции не может быть более одного нуля. Так как $x=0$ уже найден, он единственный.

Вывод. $\boxed{x=0}$.

в) $\sin x + x = 0 \;\;(\Leftrightarrow\; \sin x = -x)$

Графически. Сравниваем синусоиду $y=\sin x$ с прямой $y=-x$ (наклон $-1$, через начало координат). Видно очевидное пересечение в нуле.

Ограничение области. Из $\sin x = -x$ и $|\sin x|\le 1$ следует $|x|\le 1$. Значит, искать нужно только на $[-1,1]$.

Точная точка.

$$x=0:\quad \sin 0 + 0 = 0.$$

Единственность — два надёжных аргумента (любой из них достаточен).

1. Монотонность функции $h(x)=\sin x + x$.
   $h'(x)=\cos x + 1 \ge 0$ всегда (равно 0 лишь при $\cos x=-1$, то есть в отдельных точках $x=(2k+1)\pi$). Следовательно, $h$ неубывает везде и строго возрастает на любом интервале ненулевой длины. У такой функции не более одного нуля. Ноль при $x=0$ найден — он единственный.
2. Липшицевость синуса (чуть более «жёсткое» обоснование).
   Для любых $x<y$: $|\sin y — \sin x|\le |y-x|$. Тогда

   $$h(y)-h(x)=(y-x)+(\sin y-\sin x)\ge (y-x)-|y-x|\ge 0,$$

   и строгий знак «$>$» достигается на любом интервале, потому что $\sin$ не может быть линейной с наклоном $-1$ на отрезке. Значит, $h$ строго возрастает ⇒ ноль единственный.

Вывод. $\boxed{x=0}$.

г) $\sin x = 2x — 2\pi$

Графически. Синусоида $y=\sin x$ и прямая $y=2x-2\pi$ (наклон $2$, пересечение с осью $Oy$ в $(0,-2\pi)$). Визуально видно пересечение в $x=\pi$.

Ограничение области. $|\sin x|\le 1 \Rightarrow |2x-2\pi|\le 1 \Rightarrow x\in[\pi-\tfrac12,\;\pi+\tfrac12]$. Ищем только в окрестности $\pi$.

Точная точка.

$$x=\pi:\quad \sin \pi=0,\quad 2\pi-2\pi=0.$$

Единственность. Пусть $q(x)=\sin x — 2x + 2\pi$. Тогда

$$q'(x)=\cos x — 2 \le -1 < 0 \quad \text{для всех }x,$$

то есть $q$ строго убывает на всей $\mathbb{R}$. Стало быть, ноль только один — мы его нашли при $x=\pi$.

Вывод. $\boxed{x=\pi}$.

Финальный ответ:

$$\boxed{\,\text{а) }x=-\pi\;;\qquad \text{б) }x=0\;;\qquad \text{в) }x=0\;;\qquad \text{г) }x=\pi\,}$$

Что мы сделали «графически» и почему это строго:

• Сначала сузили область поиска, используя диапазон $\sin x\in[-1,1]$ — это и есть ключ к быстрому построению эскизов и пониманию, где вообще возможно пересечение с прямой.
• Затем для каждой разности «синусоида − прямая» посмотрели на производную:
  $\cos x — 1$, $\cos x — 2$, $\cos x + 1$.
  Во всех четырёх случаях получили монотонность (в трёх — строгую убываемость, в одном — строгую возрастаемость), что даёт единственность решения.
• Наконец, нашли точку, где равенство выполняется точно (без приближений), — это и есть наш единственный корень в каждой задаче.