ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\sin x-\sqrt{x-\pi }=0$

б) $-\sin x=\sqrt{x}$

Решить графически уравнение:

а) $\sin x — \sqrt{x — \pi} = 0 \quad => \quad \sin x = \sqrt{x — \pi};$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x — \pi}$ — ветвь параболы:

$x_0 = \pi, \; y_0 = 0;$

Графики функций:

Ответ: $x = \pi$.

б) $-\sin x = \sqrt{x} \quad => \quad \sin x = -\sqrt{x};$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\sqrt{x}$ — ветвь параболы:

$x_0 = 0, \; y_0 = 0;$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

а) $\sin x — \sqrt{x-\pi}=0$ (то же, что $\sin x=\sqrt{x-\pi}$)

1) Область определения и первые следствия

• Из $\sqrt{x-\pi}$ следует: $x\ge \pi$.
• Правая часть $\sqrt{x-\pi}\ge 0$, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $\sin x\ge 0$.

Итак, ищем $x$ такие, что одновременно:

• $x\ge \pi$;
• $\sin x\ge 0$.

Напомним: $\sin x\ge 0$ на интервалах вида $[2\pi k,\,(2k+1)\pi]$, $k\in\mathbb Z$.
Из них при $x\ge\pi$ первый «положительный» интервал — это $[2\pi,3\pi]$; на $(\pi,2\pi)$ синус отрицателен.

2) Квадратирование с контролем условий

Раз равны неотрицательные величины, можно возвести в квадрат (эквивалентно при нашем контроле знаков):

$$\sin^2 x = x-\pi \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\cos^2 x = x-\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x = 1 — x + \pi.$$

Так как $0\le \cos^2 x \le 1$, получаем двойное неравенство для $x$:

$$0 \le 1 — x + \pi \le 1.$$

Отсюда

$$\underbrace{1 — x + \pi \ge 0}_{\Rightarrow\,x\le \pi+1},\qquad \underbrace{1 — x + \pi \le 1}_{\Rightarrow\,x\ge \pi}.$$

Итак, обязательно $\pi \le x \le \pi+1$.

3) Сопоставим с знаком $\sin x$ на найденном отрезке

На $(\pi,2\pi)$ синус отрицателен, а $[\pi,\pi+1]\subset(\pi,2\pi)$ (ведь $\pi+1 \approx 4.14 < 2\pi \approx 6.28$).
Следовательно, на всём $(\pi,\pi+1]$ имеем $\sin x<0$, а правая часть $\sqrt{x-\pi}>0$. Равенство невозможно.

Остаётся крайняя точка $x=\pi$:

$$\sin \pi = 0,\qquad \sqrt{\pi-\pi}=0 \;\;\Rightarrow\;\; \text{равенство верно.}$$

4) Почему других решений точно нет

• На $(\pi,2\pi)$ — знак разный (см. п.3).
• Начиная с $x=2\pi$: $\sqrt{x-\pi}\ge \sqrt{\pi} \approx 1.772$, тогда как $\sin x \le 1$. На любом интервале, где $\sin x\ge 0$ (то есть $[2\pi,3\pi], [4\pi,5\pi], \ldots$), правая часть строго больше 1, а левая $\le 1$ — пересечений нет.

Итог по (а): единственное решение

$$\boxed{x=\pi}.$$

б) $-\sin x = \sqrt{x}$ (то же, что $\sin x=-\sqrt{x}$)

1) Область определения и знаки

• Из $\sqrt{x}$ следует: $x\ge 0$.
• Правая часть равна $-\sqrt{x}\le 0$. Значит, $\sin x$ тоже должен быть $\le 0$.

Итак, ищем $x\ge 0$, для которых $\sin x\le 0$.

2) Ограничение по амплитуде синуса

Так как $|\sin x|\le 1$, получаем

$$\sqrt{x} = |\,-\sqrt{x}\,| \le 1 \;\;\Rightarrow\;\; x\le 1.$$

Следовательно, любой возможный корень обязан лежать в узком отрезке $0\le x\le 1$.

3) Знак $\sin x$ на $[0,1]$

На интервале $(0,\pi)$ синус положителен. Поскольку $1<\pi$, то на всём $(0,1]$ имеем $\sin x>0$, а правая часть $-\sqrt{x}<0$. Равенство невозможно.

Проверим граничную точку $x=0$:

$$\sin 0=0,\qquad -\sqrt{0}=0 \;\;\Rightarrow\;\; \text{равенство верно.}$$

4) Почему вне $[0,1]$ решений нет

• Для $x>1$: $-\sqrt{x}<-1$, но $\sin x\ge -1$. Совпасть они не могут (равенство $-1$ слева достигается лишь у синуса при $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$, но тогда $x$ вовсе не равен 1, и правая часть не $-1$).
• Для $x<0$ корень $\sqrt{x}$ не определён в вещественных числах.

Итог по (б): единственное решение

$$\boxed{x=0}.$$

Короткое графическое резюме

• В (а) графики $y=\sin x$ и $y=\sqrt{x-\pi}$ касаются в точке $(\pi,0)$; далее ветвь $y=\sqrt{x-\pi}$ сразу «уходит» выше уровня 1, поэтому больше пересечений нет.

• В (б) графики $y=\sin x$ и $y=-\sqrt{x}$ пересекаются только в начале координат: около нуля $\sin x\approx x>0$ (для $x>0$), тогда как $-\sqrt{x}<0$. Для $x>1$ ветвь $y=-\sqrt{x}$ опускается ниже $-1$, где $\sin x$ уже не бывает.

Ответы:
а) $x=\pi$.
б) $x=0$.