ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

б) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

г) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$

Найти значение функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

$y(x) = 2 \sin \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \frac{7\pi}{6} + 1;$

$y(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 = -1 + 1 = 0;$

Ответ: 0.

б) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

$y(x) = -\sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

$y(x) = 2 \sin \left( \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \frac{6\pi}{6} + 1;$

$y(x) = 2 \sin \pi + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1;$

Ответ: 1.

г) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$;

$y(x) = -\sin \left( -\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{14\pi}{4} \right);$

$y(x) = -\sin \left( -\frac{7\pi}{2} \right) = -\sin \left( 4\pi — \frac{7\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$

Ответ: -1.

Вспоминаем базовые свойства синуса, которыми будем пользоваться:

• Периодичность: $\sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta$, где $k\in\mathbb{Z}$.
• Нечётность: $\sin(-\theta)=-\sin\theta$.
• Сдвиг на $\pi$: $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$.
• Табличные значения: $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\pi=0$, $\sin\frac{\pi}{2}=1$, $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$.

а) $y=2\sin\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ при $x=\frac{4\pi}{3}$

Шаг 1. Подстановка $x$.

$$y(x)=2\sin\!\left(\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)+1.$$

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю.
$\frac{4\pi}{3}=\frac{8\pi}{6}$, значит

$$\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{8\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}.$$

Шаг 3. Вычисление синуса угла $\frac{7\pi}{6}$.
$\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$ — третья четверть, синус отрицателен:

$$\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.$$

Шаг 4. Финальная подстановка.

$$y=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1=-1+1=0.$$

Ответ: $0$.

б) $y=-\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ при $x=-\frac{\pi}{2}$

Шаг 1. Подстановка $x$.

$$y(x)=-\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

Шаг 2. Сложение углов.

$$-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}.$$

Значит

$$y(x)=-\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

Шаг 3. Нечётность синуса.

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 4. Учитываем внешний минус.

$$y=-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $y=2\sin\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ при $x=\frac{7\pi}{6}$

Шаг 1. Подстановка $x$.

$$y(x)=2\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)+1.$$

Шаг 2. Вычитание углов.

$$\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}=\pi.$$

Шаг 3. Табличное значение.

$$\sin\pi=0.$$

Шаг 4. Финальная подстановка.

$$y=2\cdot 0+1=1.$$

Ответ: $1$.

г) $y=-\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ при $x=-\frac{15\pi}{4}$

Шаг 1. Подстановка $x$.

$$y(x)=-\sin\!\left(-\frac{15\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(-\frac{14\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(-\frac{7\pi}{2}\right).$$

Дальше есть два равноценных пути — покажем оба для полноты.

Путь A (периодичность):
Добавим к аргументу $4\pi$ (это $2\pi\cdot 2$, период синуса сохраняется):

$$\sin\!\left(-\frac{7\pi}{2}\right)=\sin\!\left(-\frac{7\pi}{2}+4\pi\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Тогда

$$y=-\,1=-1.$$

Путь B (нечётность + периодичность):
Сначала нечётность:

$$\sin\!\left(-\frac{7\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{7\pi}{2}\right).$$

Сократим $\frac{7\pi}{2}$ по периоду $2\pi$:

$$\sin\!\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{7\pi}{2}-2\pi\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

Значит

$$\sin\!\left(-\frac{7\pi}{2}\right)=-(-1)=1,\quad y=-1.$$

В обоих случаях результат совпадает.

Ответ: $-1$.