ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции $y=-\sin (x+\frac{\pi }{6})+2$ точка:

а) $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$;

б) $\left( \frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$;

в) $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2} \right)$;

г) $(4\pi; 2,5)$

Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

а) Точка $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$;

$y(0) = -\sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2};$

Ответ: да.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$;

$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{2\pi}{6} = 2 — \sin \frac{\pi}{3} = 2 — \frac{\sqrt{3}}{2};$

Ответ: да.

в) Точка $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2} \right)$;

$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sin \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{5\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2};$

Ответ: да.

г) Точка $(4\pi; 2,5)$;

$y(4\pi) = -\sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = 2 — 0,5 = 1,5;$

Ответ: нет.

Полезные факты

• Точные значения синуса «знаковых» углов:

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

• Формулы вида $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ и периодичность $\sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta$ для любого целого $k$.
• В нашей записи «2,5» — это десятичная запись $2{,}5=\frac{5}{2}$; «1,5» — это $1{,}5=\frac{3}{2}$. Удобно сравнивать числа в дробном виде.

а) Точка $\left(0;\frac{3}{2}\right)$

Шаг 1. Подставим $x=0$ в $y=-\sin\!\bigl(x+\frac{\pi}{6}\bigr)+2$:

$$y(0)=-\sin\!\left(0+\frac{\pi}{6}\right)+2= -\sin\frac{\pi}{6}+2.$$

Шаг 2. Используем $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$:

$$y(0)= -\frac{1}{2}+2 = 2-\frac{1}{2}.$$

Шаг 3. Приводим к общей дроби:

$$2-\frac{1}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Сравнение. Заданная $y$-координата точки равна $\frac{3}{2}$. Совпадает с $y(0)$.

Вывод: принадлежит. (Ответ: да.)

б) Точка $\left(\frac{\pi}{6};\, -\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)$

Шаг 1. Подставим $x=\frac{\pi}{6}$:

$$y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)+2 = -\sin\!\left(\frac{2\pi}{6}\right)+2 = -\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)+2.$$

Шаг 2. Используем $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)= -\frac{\sqrt{3}}{2}+2.$$

Сравнение. Это в точности заданная $y$-координата $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)$.

Вывод: принадлежит. (Ответ: да.)

в) Точка $\left(\frac{2\pi}{3};\,\frac{3}{2}\right)$

Шаг 1. Подставим $x=\frac{2\pi}{3}$:

$$y\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+2.$$

Шаг 2. Приводим аргумент синуса к одной дроби по $\pi$:

$$\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

Тогда

$$y\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)= -\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)+2.$$

Шаг 3. Упростим $\sin\frac{5\pi}{6}$. Заметим, что $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, а значит

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$$

Шаг 4. Подставляем:

$$y\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)= -\frac{1}{2}+2 = 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Сравнение. Получили $\frac{3}{2}$, как и в точке.

Вывод: принадлежит. (Ответ: да.)

г) Точка $(4\pi;\,2{,}5)$ $\bigl(2{,}5=\frac{5}{2}\bigr)$

Шаг 1. Подставим $x=4\pi$:

$$y(4\pi)=-\sin\!\left(4\pi+\frac{\pi}{6}\right)+2.$$

Шаг 2. Используем периодичность синуса $\sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta$. Здесь

$$4\pi+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}+2\cdot 2\pi,$$

поэтому

$$\sin\!\left(4\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$y(4\pi)= -\frac{1}{2}+2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Сравнение. Заданная $y$-координата равна $2{,}5=\frac{5}{2}$, а вычисленное значение $1{,}5=\frac{3}{2}$. $\frac{5}{2}\ne\frac{3}{2}$, то есть значения не совпадают.

Вывод: не принадлежит. (Ответ: нет.)

Итог:

а) $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ — да.

б) $\left(\frac{\pi}{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)$ — да.

в) $\left(\frac{2\pi}{3};\frac{3}{2}\right)$ — да.

г) $(4\pi;2{,}5)$ — нет (потому что $y(4\pi)=1{,}5$, а не $2{,}5$).