ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=\sin (x-\frac{\pi }{4})+0,5$ на промежутке:

а) На промежутке $[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$:

б) На промежутке $(\frac{3\pi }{4};\frac{9\pi }{4})$:

в) На промежутке $[0;\pi ]$:

г) На промежутке $[\frac{\pi }{4};+\mathrm{\infty })$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
$y=\sin (x-\frac{\pi }{4})+0,5:$

а) На промежутке $[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$:

Рассмотрим функцию $y=\sin x$:

• Возрастает на $[0;\frac{\pi }{2}]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$;

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin 0+0,5=0+0,5=0,5;$$$$y\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin (\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin \frac{\pi }{2}+0,5=1+0,5=1,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=0,5$; $y_{\text{наиб}}=1,5$.

б) На промежутке $(\frac{3\pi }{4};\frac{9\pi }{4})$:

Рассмотрим функцию $y=\sin x$:

• Возрастает на $[\frac{3\pi }{2};2\pi )$ и убывает на $(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $[\frac{7\pi }{4};\frac{9\pi }{4})$ и убывает на $(\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}]$;

Значения функции:

$$y\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin (\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin \frac{\pi }{2}+0,5=1+0,5=1,5;$$$$y\left(\frac{7\pi }{4}\right)=\sin (\frac{7\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin \frac{3\pi }{2}+0,5=-1+0,5=-0,5;$$$$y\left(\frac{9\pi }{4}\right)=\sin (\frac{9\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin 2\pi +0,5=0+0,5=0,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-0,5$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На промежутке $[0;\pi ]$:

Рассмотрим функцию $y=\sin x$:

• Возрастает на $[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ и убывает на $[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4}]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $[0;\frac{3\pi }{4}]$ и убывает на $[\frac{3\pi }{4};\pi ]$;

Значения функции:

$$y(0)=\sin (0-\frac{\pi }{4})+0,5=-\sin \frac{\pi }{4}+0,5=-\frac{\sqrt{2}}{2}+0,5=\frac{1-\sqrt{2}}{2};$$$$y\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin (\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4})+0,5=\sin \frac{\pi }{2}+0,5=1+0,5=1,5;$$$$y(\pi )=\sin (\pi -\frac{\pi }{4})+0,5=\sin \frac{3\pi }{4}+0,5=\frac{\sqrt{2}}{2}+0,5=\frac{1+\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$; $y_{\text{наиб}}=1,5$.

г) На промежутке $[\frac{\pi }{4};+\mathrm{\infty })$:

В промежуток входит полный период $T=2\pi$ функции:

$$-1\le \sin (x-\frac{\pi }{4})\le 1;$$$$-0,5\le \sin (x-\frac{\pi }{4})+0,5\le 1,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-0,5$; $y_{\text{наиб}}=1,5$.

Везде рассмотрим одну и ту же функцию

$$y(x)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(x-\frac{\pi }{4})+\mathrm{0,5.}$$

1) Общие факты (будут использоваться везде)

Сдвиг и диапазон. Так как $-1\le \sin t\le 1$, то при вертикальном сдвиге на $+\mathrm{0,5}$:

$$-\mathrm{0,5}\le \sin t+\mathrm{0,5}\le \mathrm{1,5.}$$

Следовательно, для любого $x$ значения $y(x)$ лежат в отрезке $[-\mathrm{0,5};\mathrm{1,5}]$.

Периодичность. $\sin (\cdot )$ имеет период $2\pi$, значит и $y(x)$ периодична с периодом $T=2\pi$.

Производная и критические точки.

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(x-\frac{\pi }{4})\mathrm{.}$$

Критические точки там, где $y^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть

$$\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(x-\frac{\pi }{4})=0⟺x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+\pi k$$$$⟺x=\frac{3\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

При этом:

• при $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ получаем $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, то есть $\sin =1$ — локальный максимум, $y=\mathrm{1,5}$;
• при $x=\frac{7\pi }{4}+2\pi k$ (следующая нулевая производная через $\pi$) получаем $x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}+2\pi k$, то есть $\sin =-1$ — локальный минимум, $y=-\mathrm{0,5}$.

Интервалы возрастания/убывания через замену $u=x-\frac{\pi }{4}$.
Функция $\sin u$ возрастает на $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ и убывает на $[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$. Возврат к $x$ даёт:

• возрастание на $[-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$,
• убывание на $[\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}]$,
  и далее периодично с шагом $2\pi$.

Нюанс про «наименьшее/наибольшее значение».
На замкнутых промежутках $[a;b]$ непрерывная функция достигает минимума и максимума (теорема Вейерштрасса).
На открытых $(a;b)$ минимум/максимум может не достигаться (существуют лишь $\inf$ и $\sup$).

а) $[{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}]$

Шаг 1. Перейдём к $u=x-\frac{\pi }{4}$. Тогда $x\in [\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$ ⇔ $u\in [0;\frac{\pi }{2}]$.

Шаг 2. На $u\in [0;\frac{\pi }{2}]$ синус возрастает, значит и $y(x)=\sin u+\mathrm{0,5}$ возрастает на всём рассматриваемом отрезке.

Шаг 3. Экстремумы на монотонном отрезке — в концах:

$$y\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin 0+\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5},$$

$$y\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+\mathrm{0,5}=1+\mathrm{0,5}=\mathrm{1,5.}$$

Вывод.
${\displaystyle y_{\min }=\mathrm{0,5}}$ при $x=\frac{\pi }{4}$; ${\displaystyle y_{\max }=\mathrm{1,5}}$ при $x=\frac{3\pi }{4}$.

б) $({\displaystyle \frac{3\pi }{4}};{\displaystyle \frac{9\pi }{4}})$

Это открытый интервал.

Шаг 1. Перейдём к $u=x-\frac{\pi }{4}$. Тогда

$$x\in (\frac{3\pi }{4};\frac{9\pi }{4})⟺u\in (\frac{\pi }{2};2\pi )\mathrm{.}$$

Шаг 2. Разобьём на участки монотонности синуса:

• на $(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})$ $\sin u$ убывает;
• на $(\frac{3\pi }{2};2\pi )$ $\sin u$ возрастает.

В точке $u=\frac{3\pi }{2}$ (то есть $x=\frac{7\pi }{4}$) имеем критическую точку минимума: $\sin u=-1\Rightarrow y=-\mathrm{0,5}$.

Шаг 3. Кандидаты на экстремумы внутри интервала:

• $x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$ — принадлежит интервалу, даёт $y=-\mathrm{0,5}$ (минимум).
• Точки максимума типа $u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi k$ соответствуют $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi k$.
  В нашем интервале ближайшие такие $x$ — это $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ (но не входит в интервал) и $x={\displaystyle \frac{11\pi }{4}}$ (уже вне интервала справа). Значит максимум не достигается.

Шаг 4. Поведение у границ (для понимания $\sup$):

• при $x\to (\frac{3\pi }{4}{)}^{+}$: $u\to (\frac{\pi }{2}{)}^{+}$, $\sin u\to 1^{-}$, $y\to {\mathrm{1,5}}^{-}$;
• при $x\to (\frac{9\pi }{4}{)}^{-}$: $u\to (2\pi {)}^{-}$, $\sin u\to 0^{+}$, $y\to {\mathrm{0,5}}^{+}$.

Вывод.
${\displaystyle y_{\min }=-\mathrm{0,5}}$ достигается при $x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$.
${\displaystyle y_{\max }}$ не существует (не достигается); $\sup y=\mathrm{1,5}$, но соответствующая точка $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ в интервал не входит.

в) $[0;\pi ]$

Шаг 1. Замена $u=x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ даёт $u\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}]$.

Шаг 2. На $u\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ $\sin u$ возрастает, а на $u\in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}]$ — убывает.
Значит $y$ сначала растёт до $u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (то есть $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$), затем убывает.

Шаг 3. Проверим концы и критическую точку:

$$y(0)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{0,5}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{0,5}=\frac{1-\sqrt{2}}{2},$$$$y\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{0,5}=1+\mathrm{0,5}=\mathrm{1,5},$$$$y(\pi )=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3\pi }{4}\right)+\mathrm{0,5}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{0,5}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

Сравнение. Численно
$\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -\mathrm{0,207}$,
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{1,207}$,
максимум $\mathrm{1,5}$ — явно наибольший из трёх.

Вывод.
${\displaystyle y_{\min }=\frac{1-\sqrt{2}}{2}}$ при $x=0$; ${\displaystyle y_{\max }=\mathrm{1,5}}$ при $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

г) $[{\displaystyle \frac{\pi }{4}};+\mathrm{\infty })$

Шаг 1. Полупрямая содержит бесконечно много полных периодов длины $2\pi$ (уже от $[\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4}]$ включительно — целый период).

Шаг 2. На каждом периоде $\sin (\cdot )$ достигает значений $-1$ и $1$, значит $y=\sin (\cdot )+\mathrm{0,5}$ достигает $-\mathrm{0,5}$ и $\mathrm{1,5}$.

Шаг 3. Укажем конкретные точки достижения:

• максимумы $y=\mathrm{1,5}$ при$$x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k=0,1,2,\dots$$

  (в частности, уже при $x=\frac{3\pi }{4}\in [\frac{\pi }{4};+\mathrm{\infty })$);

• минимумы $y=-\mathrm{0,5}$ при$$x=\frac{7\pi }{4}+2\pi k,k=0,1,2,\dots$$

  (в частности, при $x=\frac{7\pi }{4}$).

Вывод.
${\displaystyle y_{\min }=-\mathrm{0,5}}$ и ${\displaystyle y_{\max }=\mathrm{1,5}}$ (оба достигаются бесконечно много раз).

Итог:

а) $[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$: $y_{\min }=\mathrm{0,5}$ при $x=\frac{\pi }{4}$; $y_{\max }=\mathrm{1,5}$ при $x=\frac{3\pi }{4}$.

б) $(\frac{3\pi }{4};\frac{9\pi }{4})$: $y_{\min }=-\mathrm{0,5}$ при $x=\frac{7\pi }{4}$; $y_{\max }$ не достигается.

в) $[0;\pi ]$: $y_{\min }={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}$ при $x=0$; $y_{\max }=\mathrm{1,5}$ при $x=\frac{3\pi }{4}$.

г) $[\frac{\pi }{4};+\mathrm{\infty })$: $y_{\min }=-\mathrm{0,5}$, $y_{\max }=\mathrm{1,5}$; точки достижения: $x=\frac{7\pi }{4}+2\pi k$ (минимумы) и $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ (максимумы), $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$.