ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$

б) $-\cos x = 3x — 1$

в) $\cos x = 2x + 1$

г) $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$

Решить графически уравнение:

а) $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = x + \frac{\pi}{2}$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) $-\cos x = 3x — 1$ => $\cos x = 1 — 3x$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = 1 — 3x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

в) $\cos x = 2x + 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = 2x + 1$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

г) $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -x + \frac{\pi}{2}$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

а) $\cos x = x+\dfrac{\pi}{2}$

1) Сведение к нулю функции

$h(x)=\cos x — x — \dfrac{\pi}{2}$. Уравнение ⇔ $h(x)=0$.

2) Локализация корня по диапазону значений

Так как $|\cos x|\le 1$, равенство возможно лишь там, где правая часть $x+\dfrac{\pi}{2}\in[-1,1]$.
Отсюда

$$-1\le x+\frac{\pi }{2}\le 1⟹$$

$$-1\le x+\frac{\pi}{2}\le 1 \ \Longrightarrow\ x\in\Big[-1-\frac{\pi}{2},\ 1-\frac{\pi}{2}\Big]\approx[-2{,}571,\,-0{,}571].$$

3) Единственность (монотонность $h$)

$h'(x)=-\sin x-1\in[-2,0]$ для всех $x$. Следовательно, $h$ строго убывает (кроме изолированных точек со $h’=0$), значит не более одного корня.

4) Нахождение корня и проверка

Подставляем $x=-\dfrac{\pi}{2}$:
$\cos(-\tfrac{\pi}{2})=0$, а $-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}=0$. Равенство выполнено.
Из единственности получаем:

$$\boxed{x=-\frac{\pi}{2}} \quad\text{(единственный корень),}\quad y=0.$$

б) $-\cos x = 3x-1$ $\Rightarrow$ $\cos x = 1-3x$

1) Сведение

$h(x)=\cos x — (1-3x)=\cos x -1 +3x$.

2) Локализация

Требуем $1-3x\in[-1,1]\Rightarrow -1\le 1-3x\le 1 \Rightarrow 0\le x\le \tfrac{2}{3}$.

3) Единственность

$h'(x)=-\sin x+3\in[2,4]\Rightarrow h$ строго возрастает $\Rightarrow$ корень единственный.

4) Корень и проверка

$x=0:\ \cos 0=1,\ 1-3\cdot 0=1$ — верно.
Итак,

$$\boxed{x=0}\quad\text{(единственный корень),}\quad y=1.$$

в) $\cos x = 2x+1$

1) Сведение

$h(x)=\cos x -2x -1$.

2) Локализация

$2x+1\in[-1,1]\Rightarrow -2\le 2x\le 0\Rightarrow -1\le x\le 0$.

3) Единственность

$h'(x)=-\sin x-2\in[-3,-1]<0\Rightarrow h$ строго убывает $\Rightarrow$ корень единственный.

4) Корень и проверка

$x=0:\ \cos 0=1,\ 2\cdot 0+1=1$ — верно.
Значит,

$$\boxed{x=0}\quad\text{(единственный корень),}\quad y=1.$$

г) $\cos x = -x+\dfrac{\pi}{2}$

1) Сведение

$h(x)=\cos x + x — \dfrac{\pi}{2}$.

2) Локализация

$-x+\dfrac{\pi}{2}\in[-1,1]\Rightarrow x\in\Big[\frac{\pi}{2}-1,\ \frac{\pi}{2}+1\Big]\approx[0{,}571,\ 2{,}571].$

3) Единственность

$h'(x)=-\sin x+1\in[0,2]$. Функция $h$ неубывает и, кроме изолированных точек $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$, где $h’=0$, возрастает.
Следовательно, корень не более одного.

4) Корень и проверка

$x=\dfrac{\pi}{2}:\ \cos(\tfrac{\pi}{2})=0,\ -\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}=0$ — верно.
Итак,

$$\boxed{x=\frac{\pi}{2}}\quad\text{(единственный корень),}\quad y=0.$$