ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\cos x = \sqrt{x} + 1$;

б) $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$;

в) $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$;

г) $\cos x = |x| + 1$

Решить графически уравнение:

а) $\cos x = \sqrt{x} + 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x} + 1$ — ветвь параболы:

$x_0 = 0, \; y_0 = 1$;

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

б) $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$ — ветвь параболы:

$x_0 = \frac{\pi}{2}, \; y_0 = 0$;

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

в) $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -(x — \pi)^2 — 1$ — уравнение параболы:

$x_0 = \pi, \; y_0 = -1$;

Графики функций:

Ответ: $x = \pi$.

г) $\cos x = |x| + 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = |x| + 1$ — уравнение ломаной:

$x_0 = 0, \; y_0 = 1$;

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

а) $\;\cos x=\sqrt{x}+1$

Область: правая часть определена при $x\ge 0$.

Ключевое наблюдение: $\sqrt{x}+1\ge 1$ для всех $x\ge 0$, причём $\sqrt{x}+1=1\iff x=0$.
А $|\cos x|\le 1$ и $\cos x=1$ только при $x=2\pi k$.

Разбор случаев.

• Если $x=0$: $\cos 0=1=\sqrt{0}+1$ — решение.
• Если $0<x<2\pi$: $\sqrt{x}+1>1$, а $\cos x<1$ ⇒ равенство невозможно.
• Если $x\ge 2\pi$: $\sqrt{x}+1\ge \sqrt{2\pi}+1>1$, а $\cos x\le 1$ (и равен 1 только при $x=2\pi k\ge 2\pi$, где всё равно $\sqrt{x}+1>1$) ⇒ равенство невозможно.

Вывод: единственный корень $\boxed{x=0}$ (и $y=1$).

б) $\;\cos x=\sqrt{x-\dfrac{\pi}{2}}$

Область: $x\ge \dfrac{\pi}{2}$. Правая часть $\ge 0$.

Знак левой части:

• На $\left(\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ имеем $\cos x<0$ ⇒ с $\sqrt{\cdot}\ge 0$ совпасть не может.
• В точке $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\cos \dfrac{\pi}{2}=0=\sqrt{0}$ — кандидат на решение.
• Для $x\ge \dfrac{3\pi}{2}$: $\sqrt{x-\dfrac{\pi}{2}}\ge \sqrt{\pi}\approx 1{,}772$, а $\cos x\le 1$ ⇒ равенство невозможно.

Вывод: $\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}}$ — единственное решение (и $y=0$).

в) $\;\cos x=-(x-\pi)^2-1$

Оценки сторон: для любого $x$,

$$-(x-\pi)^2-1\le -1,\qquad \cos x\ge -1.$$

Равенство возможно только, если обе стороны равны $-1$.

• Правая сторона $-1$ ⇔ $(x-\pi)^2=0$ ⇔ $x=\pi$.
• Левая $\cos x=-1$ ⇔ $x=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Совместно даёт $x=\pi$.

Вывод: $\boxed{x=\pi}$ — единственный корень (и $y=-1$).

г) $\;\cos x=|x|+1$

Оценки: $|x|+1\ge 1$ (равно $1$ только при $x=0$); $\cos x\le 1$ (равно $1$ при $x=2\pi k$).

• Если $x\ne 0$: $|x|+1>1\ge \cos x$ ⇒ равенство невозможно.
• Если $x=0$: $\cos 0=1=|0|+1$ — решение.

Вывод: $\boxed{x=0}$ — единственный корень (и $y=1$).