ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько решений имеет система уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}y=\cos x\\ y=-x^2+2x-3\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}y=\cos x\\ y=\frac{2}{x}\end{array}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}y=\cos x\\ y=x^2-3\end{array}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}y=\cos x\\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-y=0\begin{array}{l}\end{array}\end{array}$$

Найти количество решений системы уравнений:

а)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = -x^2 + 2x — 3 \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -x^2 + 2x — 3$ — уравнение параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1;$$

Графики функций:

Ответ: нет решений.

б)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: бесконечно много решений.

в)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = x^2 — 3 \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = x^2 — 3$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = -3;$$

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

г)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ |x| — y = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y = \cos x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = |x|$ — уравнение ломаной:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

а)

$$\begin{cases} y=\cos x\\ y=-x^2+2x-3 \end{cases}$$

Идея. Сравним диапазоны значений.

Парабола:

$$-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2\le -2.$$

Максимум равен $-2$ и достигается при $x=1$.

Косинус принимает значения только из $[-1,1]$.
Так как для любого $x$ значение параболы $\le-2<-1\le \cos x$, равенство невозможно.

Вывод: решений нет.

(Для полноты: уравнение $-x^2+2x-3=-1$ даёт $x^2-2x+2=0$ с $D<0$, что тоже подтверждает отсутствие пересечений.)

График:

б)

$$\begin{cases} y=\cos x\\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$$

Эквивалентно: $\cos x=\dfrac{2}{x}$ (при $x\ne 0$).

1) Где решений точно нет.

• При $0<x<2$: $2/x>1$, а $\cos x\le 1$ ⇒ равенство невозможно.
• При $-2<x<0$: $2/x<-1$, а $\cos x\ge -1$ ⇒ тоже невозможно.
• В точках $x=\pm2$: $\cos 2\ne \pm1$ ⇒ тоже не решения.

2) Почему решений бесконечно много.
Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x-\dfrac{2}{x}$, непрерывную на $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$.

Для каждого $k\ge 1$:

$$f(2k\pi )=1-\frac{1}{k\pi }>0,$$

$$f(2k\pi)=1-\frac{1}{k\pi}>0,\qquad f\!\big((2k+1)\pi\big)=-1-\frac{2}{(2k+1)\pi}<0.$$

По теореме о промежуточных значениях на каждом отрезке $[2k\pi,(2k+1)\pi]$ есть хотя бы один корень. Аналогично на $[(2k+1)\pi,(2k+2)\pi]$. Следовательно, для всех достаточно больших $k$ — минимум по одному корню на каждую полупериодную дугу, значит корней бесконечно много (и справа, и слева по оси).

Вывод: решений бесконечно много.
(Численно первые корни: $-48.6535,\ -45.5971,\ -42.3643,\dots$ — см. таблицу.)

График:

в)

$$\begin{cases} y=\cos x\\ y=x^2-3 \end{cases}$$

Эквивалентно: $\cos x=x^2-3$.

1) Возможные $x$ по диапазону значений.
Нужно, чтобы $x^2-3\in[-1,1]$. Решая

$$-1\le x^2-3\le 1 \Longleftrightarrow 2\le x^2\le 4 \Longleftrightarrow x\in[-2,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,2].$$

Вне этих промежутков правая часть $<-1$ или $>1$, а $\cos x\in[-1,1]$, поэтому решений там нет.

2) Ровно по одному корню на каждом промежутке.
Рассмотрим $h(x)=\cos x-(x^2-3)$.

• На $[\sqrt2,2]$:

  $$h(\sqrt2)=\cos(\sqrt2)+1>0,\quad h(2)=\cos 2 -1<0.$$

  К тому же $h'(x)=-\sin x-2x<1-2\sqrt2<0$, т.е. $h$ строго убывает ⇒ ровно один корень.

• На $[-2,-\sqrt2]$:

  $$h(-2)=\cos 2-1<0,\quad h(-\sqrt2)=\cos(\sqrt2)+1>0,$$

  а $h'(x)=-\sin x-2x>-1+2\sqrt2>0$ ⇒ $h$ строго возрастает ⇒ ровно один корень.

Вывод: всего $\boxed{2}$ решения (симметричные по знаку).
Численно: $x\approx \pm 1{,}69575$.

График:

г)

$$\begin{cases} y=\cos x\\ y=|x| \end{cases}$$

Эквивалентно: $\cos x=|x|$.

1) Ограничения.
Так как $|x|\ge 0$ и $|\cos x|\le 1$, обязательно $|x|\le 1$ и $\cos x\ge 0$. Значит, ищем решения в $[-1,1]\subset[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$, где $\cos\ge 0$.

2) Сведение к двух задачам на $[0,1]$.
По симметрии $\cos(-x)=\cos x$:

• для $x\ge 0$ получаем $\cos x = x$;
• для $x\le 0$ получаем $\cos x = -x$, то есть $\cos u = u$ при $u=-x\in[0,1]$.

Функция $g(x)=\cos x — x$ на $[0,1]$: $g(0)=1>0$, $g(1)=\cos 1-1<0$, $g'(x)=-\sin x-1<0$ ⇒ ровно один корень $x=\alpha\in(0,1)$ (так называемое «число Дотти» $\alpha\approx 0{,}739085$). Второе решение — $-\alpha$.

Вывод: $\boxed{2}$ решения: $x=\pm\alpha\approx\pm 0{,}73905$.

График: