ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $f(x) = 2x^2 — 3x — 2$. Докажите, что

$$-f(\cos x) = 2 \sin^2 x + 3 \cos x.$$

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что

$$f(\cos x) = 9 + \cos x — 5 \sin^2 x.$$

Дано значение функции $f$, доказать равенство:

а) $f(x) = 2x^2 — 3x — 2$;

Найдем значение функции:

$$-f(\cos x) = -(2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2);$$ $$-f(\cos x) = 2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x;$$ $$-f(\cos x) = 2(1 — \cos^2 x) + 3 \cos x;$$ $$-f(\cos x) = 2 \sin^2 x + 3 \cos x;$$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x) = 5x^2 + x + 4$;

Найдем значение функции:

$$f(\cos x) = 5 \cos^2 x + \cos x + 4;$$ $$f(\cos x) = 9 + \cos x + 5 \cos^2 x — 5;$$ $$f(\cos x) = 9 + \cos x — 5(1 — \cos^2 x);$$ $$f(\cos x) = 9 + \cos x — 5 \sin^2 x;$$

Что и требовалось доказать.

Дано значение функции $f$. Необходимо доказать указанные равенства. Используем определение подстановки аргумента в функцию и основное тождество тригонометрии

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1\quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x.$$

а) $f(x)=2x^2-3x-2$. Доказать: $-f(\cos x)=2\sin^2 x+3\cos x$

Подстановка $t=\cos x$ в полином (по определению функции):

$$f(\cos x)=2(\cos x)^2-3(\cos x)-2=2\cos^2 x-3\cos x-2.$$

Переходим к $-f(\cos x)$ (умножение на $-1$ каждого слагаемого):

$$-f(\cos x)=-(2\cos^2 x-3\cos x-2)=-2\cos^2 x+3\cos x+2.$$

Упорядочим и сгруппируем константу с квадратичным выражением:

$$-f(\cos x)=2-2\cos^2 x+3\cos x.$$

Вынесем $2$ из первых двух слагаемых:

$$-f(\cos x)=2(1-\cos^2 x)+3\cos x.$$

Применим тождество $1-\cos^2 x=\sin^2 x$:

$$-f(\cos x)=2\sin^2 x+3\cos x.$$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x)=5x^2+x+4$. Доказать: $f(\cos x)=9+\cos x-5\sin^2 x$

Подстановка $t=\cos x$ (по определению функции):

$$f(\cos x)=5(\cos x)^2+\cos x+4=5\cos^2 x+\cos x+4.$$

Удобно «добавить и вычесть» $5$ (чтобы затем применить тождество). Поскольку $4=9-5$, перепишем:

$$f(\cos x)=9+\cos x+5\cos^2 x-5.$$

Сгруппируем $5\cos^2 x-5$ и вынесем $5$:

$$5\cos^2 x-5=5(\cos^2 x-1)=-5(1-\cos^2 x).$$

Следовательно,

$$f(\cos x)=9+\cos x-5(1-\cos^2 x).$$

Применим тождество $1-\cos^2 x=\sin^2 x$:

$$f(\cos x)=9+\cos x-5\sin^2 x.$$

Что и требовалось доказать.