ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции у = f(x), где f(x) = cosx, найдите:

а) $f(-x)$

б) $f(3x)$

в) $f(x+2)$

г) $f(x)-6$

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \cos x$, найти:

а) $f(-x) = \cos(-x) = \cos x$;

б) $f(3x) = \cos 3x$;

в) $f(x+2) = \cos(x+2)$;

г) $f(x)-6=\cos x-6$

Общие факты про $\cos x$

• Область определения: все действительные $x\in\mathbb{R}$.
• Область значений: $[-1,\,1]$.
• Период: $2\pi$.
• Чётность: чётная функция, то есть $\cos(-x)=\cos x$.

Полезно помнить разницу:

• $f(g(x))$ — это подстановка аргумента $g(x)$ внутрь $f$.
• $f(x)+c$ или $f(x)-c$ — это вертикальный сдвиг графика на $c$.
• $f(x+a)$ — это горизонтальный сдвиг на $a$ влево (если $a>0$).
• $f(kx)$ — это горизонтальное сжатие/растяжение (при $k>1$ — сжатие).

а) $f(-x)$

Шаг 1. Подставляем $-x$ в $f$:

$$f(-x)=\cos(-x).$$

Шаг 2. Используем чётность косинуса: $\cos(-x)=\cos x$. Тогда

$$\boxed{\,f(-x)=\cos x\,}.$$

Смысл на графике. Отражение аргумента $x\mapsto -x$ ничего не меняет у чётной функции: график остаётся прежним.

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$.
• Область значений: $[-1,1]$.
• Период: $2\pi$.
• Чётность: чётная.

Быстрая проверка на точке. При $x=1$: $f(-1)=\cos(-1)=\cos 1$ — совпадает с $\cos 1$.

б) $f(3x)$

Шаг 1. Подставляем $3x$ в $f$:

$$f(3x)=\cos(3x).$$

Это всё, что требуется по условию. Но для полноты можно записать тождество тройного угла:

$$\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x.$$

Иногда это упрощает вычисления, если известен $\cos x$.

Важное замечание. $f(3x)\ne 3f(x)$. То есть $\cos(3x)\ne 3\cos x$.

Смысл на графике. $x\mapsto 3x$ — горизонтальное сжатие в 3 раза. Волна «укладывается» в три раза чаще.

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$.
• Область значений: $[-1,1]$ (амплитуда не меняется).
• Период: исходный $2\pi$ делится на $3$, то есть $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$.
• Чётность: остаётся чётной, так как $\cos(3(-x))=\cos(-3x)=\cos(3x)$.

Быстрая проверка на точке. При $x=0$: $f(3\cdot 0)=\cos 0=1$.

в) $f(x+2)$

Шаг 1. Подставляем $x+2$ в $f$:

$$f(x+2)=\cos(x+2).$$

Это корректный ответ. При желании можно разложить по формуле сложения:

$$\cos(x+2)=\cos x\cdot \cos 2-\sin x\cdot \sin 2.$$

(Числа $\cos 2$ и $\sin 2$ — константы, так как $2$ — фиксированный радианный сдвиг.)

Важное замечание. $f(x+2)\ne f(x)+2$. То есть $\cos(x+2)\ne \cos x+2$.

Смысл на графике. $x\mapsto x+2$ — это горизонтальный сдвиг влево на 2 (радиан).

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$.
• Область значений: $[-1,1]$.
• Период: остаётся $2\pi$ (сдвиги период не меняют).
• Чётность: в общем случае теряется (функция уже не чётная и не нечётная), если только сдвиг не кратен $\pi$.

Быстрая проверка на точке. При $x=0$: $f(0+2)=\cos 2$.

г) $f(x)-6$

Здесь скобки важны: это не $f(x-6)$, а «значение функции минус 6».

Шаг 1. Сначала берём $f(x)=\cos x$.
Шаг 2. Вычитаем 6:

$$\boxed{\,f(x)-6=\cos x-6\,}.$$

Смысл на графике. Это вертикальный сдвиг вниз на 6 единиц.

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$ (не меняется).
• Область значений: $[-1,1]$ сдвигается вниз на 6 → $[-7,\,-5]$.
• Период: остаётся $2\pi$.
• Чётность: остаётся чётной, так как $(\cos x-6)$ при $x\mapsto -x$ даёт $\cos(-x)-6=\cos x-6$.

Быстрая проверка на точке. При $x=0$: $f(0)-6=\cos 0-6=1-6=-5$, что лежит в новом диапазоне $[-7,-5]$.

Итоговые ответы:

а) $f(-x)=\cos(-x)=\cos x$

б) $f(3x)=\cos 3x$

в) $f(x+2)=\cos(x+2)$

г) $f(x)-6=\cos x-6$