ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$;

б) $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) + 2$;

в) $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{2}\right) — \frac{1}{2}$;

г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 3$

Построить график функции:

а) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единицы влево;

Переместим его на 1 единицу вверх;

б) $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) + 2$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Переместим его на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо;

Переместим его на 2 единицы вверх;

в) $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{2}\right) — \frac{1}{2}$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единицы вправо;

Переместим его на 0,5 единицы вниз;

г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 3$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Переместим его на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево;

Переместим его на 3 единицы вниз;

а) $y=\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+1$

Параметры. Здесь $a=-\tfrac{\pi}{2}$ (сдвиг влево на $\tfrac{\pi}{2}$), $b=1$ (вверх на 1).
Амплитуда $1$, период $2\pi$, ось колебаний $y=1$, значения $[0,\,2]$.

Экстремумы и шаблон на одном периоде.

• Максимумы: $x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $y=2$.
• Минимумы: $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $y=0$.
• Пересечения с осью колебаний $y=1$: когда $\cos(\cdot)=0$ ⇒ $x+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$ ⇒ $x=\pi k$.

«Пяти-точечный шаблон» на периоде $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}]$:
$(-\tfrac{\pi}{2},2)$ — максимум → $(0,1)$ — ось, спуск → $(\tfrac{\pi}{2},0)$ — минимум → $(\pi,1)$ — ось, подъём → $(\tfrac{3\pi}{2},2)$ — следующий максимум.

Нули (пересечения с $Ox$).
$y=0 \iff \cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=-1 \iff x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$. Есть одно пересечение за период (в точке минимума).

Пересечение с $Oy$.
$x=0:\; y=\cos(\tfrac{\pi}{2})+1=0+1=1$ ⇒ точка $(0,1)$.

Монотонность (на каждом периоде).
Косинус от максимума к минимуму убывает, затем возрастает:

• убывает на $\big(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\;\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\big)$;
• возрастает на $\big(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\;\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\big)$.

Симметрия.
График симметричен относительно вертикальной прямой $x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (через точки максимумов).

Как «выглядит».
Волна косинуса, поднятая так, что «середина» на $y=1$; верхние гребни на $y=2$, нижние вплотную касаются оси $Ox$ (на $y=0$). Вся кривая не опускается ниже оси $Ox$.

б) $y=\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2$

Параметры. $a=\tfrac{\pi}{3}$ (сдвиг вправо на $\tfrac{\pi}{3}$), $b=2$ (вверх на 2).
Амплитуда $1$, период $2\pi$, ось $y=2$, значения $[1,\,3]$.

Экстремумы и шаблон на одном периоде.

• Максимумы: $x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $y=3$.
• Минимумы: $x=\tfrac{\pi}{3}+\pi+2\pi k=\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k$, $y=1$.
• Пересечения с осью колебаний $y=2$: $x=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{2}+\pi k=\tfrac{5\pi}{6}+\pi k$.

Шаблон на периоде $[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{7\pi}{3}]$:
$(\tfrac{\pi}{3},3)$ — максимум → $(\tfrac{5\pi}{6},2)$ — ось, спуск → $(\tfrac{4\pi}{3},1)$ — минимум → $(\tfrac{11\pi}{6},2)$ — ось, подъём → $(\tfrac{7\pi}{3},3)$.

Нули.
Нет: $y\ge 1$ всегда, ось $Ox$ не пересекается.

Пересечение с $Oy$.
$x=0:\; y=\cos(-\tfrac{\pi}{3})+2=\cos(\tfrac{\pi}{3})+2=\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{5}{2}=2{,}5$.

Монотонность.

• убывает на $\big(\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\;\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k\big)$;
• возрастает на $\big(\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\;\tfrac{7\pi}{3}+2\pi k\big)$.

Симметрия.
Относительно $x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi k$ (вертикальная линия через вершины максимумов).

Как «выглядит».
Обычный косинус, поднятый так, что колеблется между $y=1$ и $y=3$ вокруг линии $y=2$. Вся кривая выше оси $Ox$.

в) $y=\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$

Параметры. $a=\tfrac{\pi}{2}$ (вправо на $\tfrac{\pi}{2}$), $b=-\tfrac{1}{2}$ (вниз на $0{,}5$).
Амплитуда $1$, период $2\pi$, ось $y=-\tfrac{1}{2}$, значения $\big[-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}\big]$.

(Замечание: $\cos(x-\tfrac{\pi}{2})=\sin x$, так что $y=\sin x-\tfrac{1}{2}$.)

Экстремумы и шаблон на одном периоде.

• Максимумы: $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $y=\tfrac{1}{2}$.
• Минимумы: $x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k$, $y=-\tfrac{3}{2}$.
• Пересечения с осью колебаний $y=-\tfrac{1}{2}$: когда $\cos(\cdot)=0$ ⇒ $x=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}+\pi k=\pi+\pi k$.

Шаблон на периоде $[\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{5\pi}{2}]$:
$(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{1}{2})$ — максимум → $(\pi,-\tfrac{1}{2})$ — ось, спуск → $(\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{3}{2})$ — минимум → $(2\pi,-\tfrac{1}{2})$ — ось, подъём → $(\tfrac{5\pi}{2},\tfrac{1}{2})$.

Нули (пересечения с $Ox$).

$$\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)-\tfrac{1}{2}=0 \iff \cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}$$

Аргумент равен $\pm \tfrac{\pi}{3}+2\pi k$.
Отсюда $x-\tfrac{\pi}{2}=\pm \tfrac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow \begin{cases} x=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{3}+2\pi k=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\\ x=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k. \end{cases}$
То есть два нуля на каждый период.

Пересечение с $Oy$.
$x=0:\; y=\cos(-\tfrac{\pi}{2})-\tfrac{1}{2}=0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}$.

Монотонность.

• убывает на $\big(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\;\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\big)$;
• возрастает на $\big(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{2}+2\pi k\big)$.

Симметрия.
Относительно $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (вертикальная ось через максимумы).

Как «выглядит».
Волна опущена вниз на 0,5: верхушки на $y=\tfrac{1}{2}$, низы на $y=-\tfrac{3}{2}$; средняя линия проходит по $y=-\tfrac{1}{2}$. Часть графика выше, часть ниже оси $Ox$, поэтому есть два пересечения с $Ox$ за период.

г) $y=\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-3$

Параметры. $a=-\tfrac{\pi}{6}$ (влево на $\tfrac{\pi}{6}$), $b=-3$ (вниз на 3).
Амплитуда $1$, период $2\pi$, ось $y=-3$, значения $[-4,\,-2]$.

Экстремумы и шаблон на одном периоде.

• Максимумы: $x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $y=-2$.
• Минимумы: $x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi+2\pi k=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $y=-4$.
• Пересечения с осью колебаний $y=-3$: когда $\cos(\cdot)=0$ ⇒ $x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{2}+\pi k=\tfrac{\pi}{3}+\pi k$.

Шаблон на периоде $[-\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{11\pi}{6}]$:
$(-\tfrac{\pi}{6},-2)$ — максимум → $(\tfrac{\pi}{3},-3)$ — ось, спуск → $(\tfrac{5\pi}{6},-4)$ — минимум → $(\tfrac{4\pi}{3},-3)$ — ось, подъём → $(\tfrac{11\pi}{6},-2)$.

Нули.
Нет: всё значение $y\le -2$, ось $Ox$ не пересекается.

Пересечение с $Oy$.
$x=0:\; y=\cos(\tfrac{\pi}{6})-3=\tfrac{\sqrt{3}}{2}-3\approx -2{,}134$.

Монотонность.

• убывает на $\big(-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\big)$;
• возрастает на $\big(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{11\pi}{6}+2\pi k\big)$.

Симметрия.
Относительно $x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ (ось через максимумы).

Как «выглядит».
Весь график «лежит» ниже оси $Ox$, колеблясь между $-4$ и $-2$ вокруг линии $y=-3$; гребни при $y=-2$, впадины при $y=-4$.