ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cosx:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

б) На интервале $(-π; \frac{π}{4})$;

в) На луче $\left[ -\frac{π}{3}; +∞ \right)$;

г) На полуинтервале $\left[ -\frac{π}{3}; \frac{3π}{2} \right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

Функция убывает на $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$, значит:

$$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$; $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) На интервале $(-π; \frac{π}{4})$;

Функция возрастает на $(-π; 0]$ и убывает на $[0; \frac{π}{4})$:

$$y(-π) = \cos(-π) = \cos π = -1;$$ $$y(0) = \cos 0 = 1;$$ $$y\left( \frac{π}{4} \right) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left[ -\frac{π}{3}; +∞ \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2π$ функции:

$$-1 ≤ \cos x ≤ 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $\left[ -\frac{π}{3}; \frac{3π}{2} \right)$;

Функция возрастает на $\left[ -\frac{π}{3}; 0 \right]$ и $\left[ π; \frac{3π}{2} \right)$, значит:

$$y(0) = \cos 0 = 1;$$ $$y(π) = \cos π = -1;$$ $$-1 ≤ \cos x ≤ 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

а) На отрезке $\displaystyle \left[\frac{\pi}{6},\,\frac{2\pi}{3}\right]$

Отрезок полностью лежит в $[0,\pi]$, где $\cos x$ убывает (см. подготовку).
Значит, на убывающей функции максимум — в левом конце, минимум — в правом.

Подсчёт на концах:

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

Вывод (по теореме Вейерштрасса на замкнутом отрезке экстремумы достигаются):

$$y_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ (при }x=\frac{\pi }{6}\text{)},$$

$$y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}\ \text{(при }x=\tfrac{\pi}{6}\text{)},\qquad y_{\min}=-\frac12\ \text{(при }x=\tfrac{2\pi}{3}\text{)}.$$

Ответ (а): $y_{\text{наим}}=-\tfrac12,\quad y_{\text{наиб}}=\tfrac{\sqrt3}{2}.$

б) На интервале $\displaystyle (-\pi,\,\tfrac{\pi}{4})$

Здесь важно различить «достигаемое наименьшее/наибольшее» и лишь точные границы (inf/sup).

Критические точки внутри интервала: решаем $y’=0\Rightarrow -\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$.
Из них в интервал попадает $x=0$. Это кандидат на экстремум:

$$\cos 0=1.$$

Поведение у границ интервала:

• при $x\to(-\pi)^{+}$: $\cos x\to\cos(-\pi)=\cos\pi=-1$ (значение $-1$ не достигается, т.к. точка $-\pi$ исключена);
• при $x\to(\pi/4)^{-}$: $\cos x\to\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}$ (тоже не достигается, правая граница открыта).

Монотонность на частях интервала:

• на $(-\pi,0]$ $\cos x$ возрастает;
• на $[0,\pi/4)$ $\cos x$ убывает;
  поэтому $x=0$ действительно даёт глобальный максимум на всём интервале.

Итог:

• Наибольшее значение (max) существует и равно $1$ при $x=0$.
• Наименьшего значения (min) в строгом смысле нет, поскольку $-1$ не достигается ни в одной точке интервала; однако точная нижняя грань (infimum) равна $-1$.

Во многих школьных решениях в ответ записывают «$y_{\text{наим}}=-1,\ y_{\text{наиб}}=1$», имея в виду именно нижнюю/верхнюю границы. Строго математически корректно писать:

$$\underset{(-\pi ,\pi \mathrm{/}4)}{\sup }\cos x=1\text{ (достигается при }x=0\text{)},\underset{}{\inf }$$

$$\sup_{(-\pi,\ \pi/4)}\cos x=1\ \text{(достигается при }x=0\text{)},\qquad \inf_{(-\pi,\ \pi/4)}\cos x=-1\ \text{(не достигается)}.$$

Ответ (б): $y_{\text{наим}}=-1,\quad y_{\text{наиб}}=1.$

в) На луче $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3},\,+\infty\right)$

Луч содержит точки из бесконечного числа периодов $\cos x$ (период $T=2\pi$).

Уже в первом «кусочке» луча есть обе экстремальные точки:

$$\cos 0=1(\text{точка }0\in [-\frac{\pi }{3},+\mathrm{\infty })),$$

$$\cos 0=1\quad(\text{точка }0\in[-\tfrac{\pi}{3},+\infty)), \qquad \cos \pi=-1\quad(\text{точка }\pi\in[-\tfrac{\pi}{3},+\infty)).$$

Далее эти значения повторяются через каждый период $2\pi$.

Следовательно, оба экстремума достигаются на луче:

$$y_{\max }=1(\text{например, при }x=0,2\pi ,4\pi ,\dots ),$$

$$y_{\max}=1\ (\text{например, при }x=0,\,2\pi,\,4\pi,\dots),\qquad y_{\min}=-1\ (\text{например, при }x=\pi,\,3\pi,\,5\pi,\dots).$$

Ответ (в): $y_{\text{наим}}=-1,\quad y_{\text{наиб}}=1.$

г) На полуинтервале $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3},\,\frac{3\pi}{2}\right)$

Полуинтервал включает точки $x=0$ и $x=\pi$ (правая граница $3\pi/2$ исключена, но это не мешает).

Монотонность по кускам, лежащим внутри полуинтервала:

• $\left[-\frac{\pi}{3},0\right]$: $\cos x$ возрастает (см. подготовку);
• $[0,\pi]$: $\cos x$ убывает;
• $[\pi,\,\frac{3\pi}{2})$: $\cos x$ снова возрастает (но минимальное значение на отрезке $[\pi,\,\frac{3\pi}{2})$ — в точке $\pi$).

Проверка ключевых точек:

$$\cos 0=1\quad(\text{кандидат на максимум}),\qquad \cos \pi=-1\quad(\text{кандидат на минимум}).$$

Никакая другая точка на данном полуинтервале не даст значение больше 1 или меньше -1 (это глобальные границы функции).

Итак, оба экстремума достигаются внутри полуинтервала:

$$y_{\max}=1\ \text{при }x=0,\qquad y_{\min}=-1\ \text{при }x=\pi.$$

Ответ (г): $y_{\text{наим}}=-1,\quad y_{\text{наиб}}=1.$