ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте и прочитайте график функции у = f(x):

а)

$$y=\{\begin{array}{ll}x+1,& \text{если }x<0;\\ \cos x,& \text{если }x\ge 0;\end{array}$$

б)

$$y=\{\begin{array}{ll}\cos x,& \text{если }x\le \frac{\pi }{2};\\ \sin x,& \text{если }x>\frac{\pi }{2}\end{array}$$

в)

$$y=\{\begin{array}{ll}-\frac{2}{x},& \text{если }x<0;\\ -\cos x,& \text{если }x\ge 0\end{array}$$

г)

$$y=\{\begin{array}{ll}-\cos x,& \text{если }x<0;\\ 2x^2-1,& \text{если }x\ge 0\end{array}$$

Построить и прочитать график функции $y = f(x)$:

В данной задаче $n$ — целое неотрицательное число;

а)

$$y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x < 0; \\ \cos x, & \text{если } x \geq 0; \end{cases}$$

• $y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

  $$y(0) = \cos 0 = 1;$$

• $y = x + 1$ — уравнение прямой:

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); E(f) = (-\infty; 1);$
• Возрастает на $(-\infty; 0) \cup [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n];$
• Убывает на $[2\pi n; \pi + 2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-1; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• $f(x) < 0$ на $(-\infty; -1) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• Ограничена сверху;
• $y_{\max} = y(0) = 1;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $(-\infty; +\infty);$

б)

$$y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \leq \frac{\pi}{2}; \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

• $y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$

• $y = \sin x$ — уравнение синусоиды:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); E(f) = [-1; 1];$
• Возрастает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n] \cup \left[\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right];$
• Убывает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup (2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n);$
• $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup (\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n);$
• Ограничена снизу и сверху;
• $y_{\min} = y(-\pi) = -1;$
• $y_{\max} = y(0) = 1;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; +\infty\right);$

в)

$$y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ -\cos x, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

• $y = -\cos x$ — уравнение синусоиды:

  $$y(0) = -\cos 0 = -1;$$

• $y = -\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы:

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); E(f) = [-1; +\infty);$
• Возрастает на $(-\infty; 0) \cup [2\pi n; \pi + 2\pi n];$
• Убывает на $[\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• $f(x) < 0$ на $\left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• Ограничена снизу;
• $y_{\min} = y(0) = -1;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$

г)

$$y = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2 — 1, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

• $y = -\cos x$ — уравнение синусоиды:

  $$y(0) = -\cos 0 = -1;$$

• $y = 2x^2 — 1$ — уравнение параболы:

  $$x_0 = 0, \quad y_0 = -1;$$

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); E(f) = [-1; +\infty);$
• Возрастает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup [0; +\infty);$
• Убывает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right);$
• $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{5\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right);$
• Ограничена снизу;
• $y_{\min} = y(0) = -1;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $(-\infty; +\infty)$

а) $y=\begin{cases}x+1,&x<0\\\cos x,&x\ge 0\end{cases}$

1) Область определения

Обе ветви определены на своих кусках, точка $x=0$ берётся из правой ветви ($\cos 0$ существует).
Следовательно, $D(f)=\mathbb R$.

2) Непрерывность и склейка в $x=0$

$\lim\limits_{x\to 0^-}(x+1)=1,\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\cos x=1,\quad f(0)=\cos 0=1$.
Значит, разрывов нет, $f$ непрерывна на $\mathbb R$.

Дифференцируемость в 0.
$f’_-(0)=\frac{d}{dx}(x+1)\big|_{0}=1$,
$f’_+(0)=\frac{d}{dx}(\cos x)\big|_{0}=-\sin 0=0$.
Левые и правые производные различаются ⇒ в $x=0$ недифференцируема (угловая точка).

3) Монотонность

• На $(-\infty,0)$: $y=x+1$ монотонно возрастает (угол наклона $=1>0$).
• На $[0,\infty)$: рассматриваем $\cos x$.
  • $\cos x$ убывает на отрезках $[2\pi k,\pi+2\pi k]$,
  • возрастает на $[\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k]$, где $k\in\mathbb Z$.
    С учётом $x\ge 0$, берём только те отрезки, которые лежат в $[0,\infty)$.

Итого:

• возрастает на $(-\infty,0)$$\;\cup\;\bigcup\limits_{k\ge 0}[\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k]$;
• убывает на $\bigcup\limits_{k\ge 0}[2\pi k,\pi+2\pi k]$.

4) Экстремумы

На правой ветви локальные максимумы в точках $x=2\pi k$ ($k\ge 0$), значение $1$; локальные минимумы при $x=\pi+2\pi k$ ($k\ge 0$), значение $-1$.
Глобального минимума нет (левая ветвь уходит к $-\infty$).
Глобальный максимум $=1$ достигается (например, при $x=0,2\pi,\dots$).

5) Значения (множество значений)

Слева $x+1\to -\infty$ при $x\to -\infty$, а сверху обе ветви не превышают 1 (и значение 1 достигается).
Значит, $E(f)=(-\infty,1]$.
(В исходном конспекте было «$(- \infty;1)$», но это противоречит $y_{\max}=1$; правильно — с квадратной скобкой.)

6) Знаки

• Для $x<0$: $x+1>0\iff x>-1$. На левой ветви это интервал $(-1,0)$ (плюс можно добавить отдельно $x=0$ с правой ветви: $f(0)=1>0$).
• Для $x\ge 0$: $\cos x>0\iff x\in\bigcup\limits_{k\ge 0}(2\pi k-\tfrac{\pi}{2},2\pi k+\tfrac{\pi}{2})\cap[0,\infty)= (0,\tfrac{\pi}{2})\cup( \tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{2})\cup\cdots$.

Итого:

• $f(x)>0$ на $(-1,0)\cup\{0\}\cup(0,\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{2})\cup\cdots$.
  (Обычно точку $0$ в записях опускают, т.к. это «одна точка», но формально $f(0)>0$.)
• $f(x)<0$ на $(-\infty,-1)\cup(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})\cup(\tfrac{5\pi}{2},\tfrac{7\pi}{2})\cup\cdots$.

7) Нули (пересечения с $Ox$)

$x+1=0\Rightarrow x=-1$.
$\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi m$, $m\in\mathbb Z$, причём берём $x\ge 0$: $x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\dots$.

8) Чётность, периодичность

Не чётная и не нечётная (левая и правая ветви разные), не периодическая.

График:

б) $y=\begin{cases}\cos x,&x\le \frac{\pi}{2}\\ \sin x,&x>\frac{\pi}{2}\end{cases}$

1) Область определения

Обе функции определены везде, значит $D(f)=\mathbb R$.

2) Непрерывность и склейка в $x=\frac{\pi}{2}$

Левый предел: $\cos \tfrac{\pi}{2}=0$.
Правый предел (и значения справа близко к точке): $\sin \tfrac{\pi}{2}=1$.
Точка $x=\tfrac{\pi}{2}$ относится к левой ветви ⇒ $f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$.
Имеем скачок: левое значение 0, правое «стартует» с 1 ⇒ функция разрывна в $x=\frac{\pi}{2}$.

3) Монотонность

• На $(-\infty,\tfrac{\pi}{2}]$ работает $\cos x$: убывает на $[-2\pi k-\pi,-2\pi k]$, возрастает на $[-2\pi k,-2\pi k+\pi]$ для всех $k\in\mathbb Z_{\ge 0}$, ограничивая правым концом $\tfrac{\pi}{2}$.
• На $(\tfrac{\pi}{2},\infty)$ работает $\sin x$: возрастает на $[\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k]$, убывает на $[\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\tfrac{5\pi}{2}+2\pi k]$, $k\ge 0$.

(Если переписать кратко по «стандартным» кускам: «лево — как у $\cos$, право — как у $\sin$», с учётом соответствующих пересечений с $(-\infty,\tfrac{\pi}{2}]$ и $(\tfrac{\pi}{2},\infty)$.)

4) Экстремумы

• На левом куске у $\cos$ локальные максимумы при $x=2\pi k$ (значение $1$), локальные минимумы при $x=\pi+2\pi k$ (значение $-1$); учитываем только те, что $\le \tfrac{\pi}{2}$.
• На правом куске у $\sin$ локальные максимумы при $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (значение $1$), но точка $x=\tfrac{\pi}{2}$ не входит в правый кусок, поэтому первый максимум при $x=\tfrac{5\pi}{2}$; минимумы при $x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k$ (значение $-1$).

Глобальные: $\max=1$ (достигается, напр. $x=0$ слева и $x=\tfrac{5\pi}{2}$ справа), $\min=-1$ (много точек).

5) Значения

И слева, и справа значения лежат в $[-1,1]$. И оба края достигаются ⇒ $E(f)=[-1,1]$.

6) Знаки

• Слева ($\cos$): $>0$ на $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\big(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\big)\cap(-\infty,\tfrac{\pi}{2}]$; $<0$ на смежных интервалах.
• Справа ($\sin$): $>0$ на $\bigcup_{k\ge 0}\big(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\pi+2\pi k\big)$, $<0$ на $(\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k)$.

Точка $x=\tfrac{\pi}{2}$: $f=0$.

7) Нули

• Слева: $\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi m$, берём все $\le \tfrac{\pi}{2}$: $\dots,-\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}$.
• Справа: $\sin x=0\Rightarrow x=\pi m$, но нужно $> \tfrac{\pi}{2}$: $x=\pi,2\pi,3\pi,\dots$.

8) Чётность/периодичность

Не чётная, не нечётная, не периодическая (из-за «ломки» в $\tfrac{\pi}{2}$).

График:

в) $y=\begin{cases}-\dfrac{2}{x},&x<0\\ -\cos x,&x\ge 0\end{cases}$

1) Область определения

Обе ветви определены на своих кусках (левая — на $x<0$, правая — на $x\ge 0$).
$D(f)=\mathbb R$.

2) Непрерывность и поведение у $x=0$

$\lim\limits_{x\to 0^-} -\frac{2}{x}=+\infty$ (вертикальная асимптота слева).
$f(0)=-\cos 0=-1$.
Правый предел конечен, левый бесконечен ⇒ разрыв первого рода отсутствует, разрыв бесконечного типа в $x=0$. Непрерывна на $(-\infty,0)$ и на $[0,\infty)$.

3) Монотонность

• На $(-\infty,0)$: $y=-2/x$, $f'(x)=2/x^2>0$ ⇒ строго возрастает на всём $(-\infty,0)$.
• На $[0,\infty)$: $-\cos x$ возрастает на $[2\pi k,\pi+2\pi k]$ и убывает на $[\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k]$, $k\ge 0$.

4) Экстремумы

• На правой ветви локальные максимумы в $x=\pi+2\pi k$: $f=1$; локальные минимумы в $x=2\pi k$: $f=-1$ (учитывая $k\ge 0$).
• Глобальный минимум: $-1$ достигается (например, $x=0,2\pi,\dots$).
• Глобального максимума нет (левая ветвь $\to +\infty$ при $x\to 0^-$).

5) Значения и асимптоты

• Слева $y=-2/x>0$ и не ограничена сверху; при $x\to -\infty$, $y\to 0^+$ ⇒ горизонтальная асимптота $y=0$ слева.
• Справа $-\cos x\in[-1,1]$.
  Итого $E(f)=[-1,+\infty)$.

6) Знаки

• На $(-\infty,0)$: $y>0$.
• На $[0,\infty)$: $-\cos x>0\iff \cos x<0\iff x\in(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k)$;
  $-\cos x<0\iff x\in(0,\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\tfrac{5\pi}{2}+2\pi k)$.

7) Нули

Левая ветвь корней не имеет.
Правая: $-\cos x=0\iff \cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi m$, берём $x\ge 0$: $\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\dots$.

8) Чётность/периодичность

Не чётная, не нечётная, не периодическая.

График:

г) $y=\begin{cases}-\cos x,&x<0\\ 2x^2-1,&x\ge 0\end{cases}$

1) Область определения

Обе ветви определены на своих кусках ⇒ $D(f)=\mathbb R$.

2) Непрерывность и гладкость в $x=0$

$-\cos 0=-1$ слева, $2\cdot 0^2-1=-1$ справа ⇒ непрерывна в 0 и на всей $\mathbb R$.

Производные в 0.
Слева $f'(x)=\sin x\Rightarrow f’_-(0)=\sin 0=0$.
Справа $f'(x)=4x\Rightarrow f’_+(0)=0$.
Итак, дифференцируема в 0 (даже $C^1$).
Вторые производные: слева $f»(x)=\cos x\Rightarrow f»_-(0)=1$; справа $f»(x)=4\Rightarrow f»_+(0)=4$ — вторые производные не совпадают (не $C^2$).

3) Монотонность

• На $x<0$: $-\cos x$ ведёт себя по стандартным интервалам, но на отрицательной полуоси.
  Напомним: $\cos x$ убывает на $[0,\pi]$ и возрастает на $[\pi,2\pi]$. Для $-\cos x$ наоборот. Сдвигая на отрицательную полуось:
  • $-\cos x$ возрастает на $[-2\pi k-\!2\pi,\,-2\pi k-\!\pi]$,
  • $-\cos x$ убывает на $[-2\pi k-\!\pi,\,-2\pi k]$,
    где $k\in\mathbb Z_{\ge 0}$, и всё это $\subset(-\infty,0)$.
• На $x\ge 0$: $2x^2-1$ возрастает на $[0,\infty)$ (производная $4x\ge 0$, равна нулю только в 0).

Итого кратко: возрастает на $\bigcup\limits_{k\ge 0}[-2\pi-2\pi k,-\pi-2\pi k]\ \cup\ [0,\infty)$; убывает на $\bigcup\limits_{k\ge 0}[-\pi-2\pi k,-2\pi k]$.

4) Экстремумы

• На левом куске у $-\cos x$ локальные минимумы в $x=-2\pi k$ (значение $-1$), локальные максимумы в $x=-(\pi+2\pi k)$ (значение $1$).
• В $x=0$ правый кусок имеет минимум (вершина параболы): $f(0)=-1$.
  Глобальный минимум $=-1$ достигается многократно (включая $x=0$). Глобального максимума нет (правая ветвь $\to +\infty$).

5) Значения

Правая ветвь $2x^2-1\ge -1$, левая $-\cos x\in[-1,1]$.
Совокупно $E(f)=[-1,+\infty)$.

6) Знаки

• Слева: $-\cos x>0\iff \cos x<0\iff x\in(-\tfrac{\pi}{2}-2\pi k,-\tfrac{3\pi}{2}-2\pi k)$ (движемся к $-\infty$);
  $-\cos x<0$ на соседних промежутках.
• Справа: $2x^2-1>0\iff x>\tfrac{1}{\sqrt2}$, $=0$ при $x=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $<0$ на $[0,\tfrac{1}{\sqrt2})$.

7) Нули

• Слева: $-\cos x=0\iff \cos x=0\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{2}-\pi m$ для $x<0$: $-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{3\pi}{2},\dots$.
• Справа: $2x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{\sqrt2}$, но $x\ge 0\Rightarrow x=\tfrac{1}{\sqrt2}$.

8) Чётность/периодичность

Не чётная, не нечётная, не периодическая.

График: