ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите, преобразовав заданное выражение ($\sin t$ или $\cos t$) в вид $\sin t_0$ или $\cos t_0$, так, чтобы выполнялось соотношение $0<t_0<2\mathrm{\pi :}$

а) sin 8;

б) cos(-10);

в) sin(-25);

г) cos 35

Преобразовать заданное выражение:

а) sin 8;

3 < π < 4;

6 < 2π < 8;

12 < 4π < 16;

2π < 8 < 4π;

Ответ: sin(8 — 2π).

б) cos(-10);

3 < π < 4;

-8 < -2π < -6;

-16 < -4π < -12;

-4π < -10 < -2π;

Ответ: cos(-10 + 4π).

в) sin(-25);

3 < π < 4;

-24 < -6π < -18;

3,14 < π < 3,15;

-25,2 < -8π < -25,12;

-8π < -25 < -6π;

Ответ: sin(-25 + 8π).

г) cos 35;

3 < π < 4;

36 < 12π < 48;

3,1 < π < 3,2;

31 < 10π < 32;

10π < 35 < 12π;

Ответ: cos(35 — 10π).

а) $\sin(8)$

Заданы следующие данные:

• $3 < \pi < 4$
• $6 < 2\pi < 8$
• $12 < 4\pi < 16$
• $2\pi < 8 < 4\pi$

Шаг 1: Понимание выражения.
Задача — преобразовать выражение $\sin(8)$. Нам нужно представить аргумент синуса $8$ в виде, который будет более удобен для вычислений, например, через кратные $\pi$, так как синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$. Мы ищем, в каком интервале находится число $8$, используя приближённые значения для $\pi$.

Шаг 2: Определим значение $8$ в терминах $\pi$.

Мы знаем, что:

$$2\pi \approx 6.28 \quad \text{и} \quad 4\pi \approx 12.57$$

Число $8$ попадает в интервал $2\pi < 8 < 4\pi$, то есть $8$ находится между $2\pi$ и $4\pi$.

Шаг 3: Перепишем аргумент как разность.

Чтобы привести аргумент $8$ к более удобной форме, вычитаем из $8$ значение $2\pi$, которое меньше $8$:

$$8 — 2\pi$$

Таким образом, мы получаем выражение:

$$\sin(8) = \sin(8 — 2\pi)$$

Ответ:

$$\sin(8) = \sin(8 — 2\pi)$$

б) $\cos(-10)$

Заданы следующие данные:

• $3 < \pi < 4$
• $-8 < -2\pi < -6$
• $-16 < -4\pi < -12$
• $-4\pi < -10 < -2\pi$

Шаг 1: Понимание выражения.
Нам нужно преобразовать $\cos(-10)$, чтобы представить его в более удобном виде с учётом периодичности косинуса. Период косинуса — это $2\pi$, значит, аргумент можно сдвигать на целые множители $2\pi$, не меняя значение функции.

Шаг 2: Определим значение $-10$ в терминах $\pi$.

Известно, что:

$$-2\pi \approx -6.28 \quad \text{и} \quad -4\pi \approx -12.57$$

Число $-10$ попадает в интервал $-4\pi < -10 < -2\pi$.

Шаг 3: Перепишем аргумент как сумму.

Чтобы привести аргумент $-10$ к более удобной форме, добавим к нему $4\pi$, так как $4\pi$ больше, чем $-10$:

$$-10 + 4\pi$$

Таким образом, мы получаем:

$$\cos(-10) = \cos(-10 + 4\pi)$$

Ответ:

$$\cos(-10) = \cos(-10 + 4\pi)$$

в) $\sin(-25)$

Заданы следующие данные:

• $3 < \pi < 4$
• $-24 < -6\pi < -18$
• $3,14 < \pi < 3,15$
• $-25,2 < -8\pi < -25,12$
• $-8\pi < -25 < -6\pi$

Шаг 1: Понимание выражения.
Нам нужно преобразовать $\sin(-25)$, представив его в терминах $\pi$. Это можно сделать, используя периодичность синуса с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Определим значение $-25$ в терминах $\pi$.

Известно, что:

$$-8\pi \approx -25.13 \quad \text{и} \quad -6\pi \approx -18.85$$

Число $-25$ попадает в интервал $-8\pi < -25 < -6\pi$.

Шаг 3: Перепишем аргумент как сумму.

Чтобы привести аргумент $-25$ к более удобной форме, добавим к нему $8\pi$, так как $8\pi$ больше, чем $-25$:

$$-25 + 8\pi$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sin(-25) = \sin(-25 + 8\pi)$$

Ответ:

$$\sin(-25) = \sin(-25 + 8\pi)$$

г) $\cos(35)$

Заданы следующие данные:

• $3 < \pi < 4$
• $36 < 12\pi < 48$
• $3,1 < \pi < 3,2$
• $31 < 10\pi < 32$
• $10\pi < 35 < 12\pi$

Шаг 1: Понимание выражения.
Нам нужно преобразовать $\cos(35)$, представив его в терминах $\pi$. Это можно сделать с помощью периодичности косинуса.

Шаг 2: Определим значение $35$ в терминах $\pi$.

Известно, что:

$$10\pi \approx 31.42 \quad \text{и} \quad 12\pi \approx 37.70$$

Число $35$ попадает в интервал $10\pi < 35 < 12\pi$.

Шаг 3: Перепишем аргумент как разность.

Чтобы привести аргумент $35$ к более удобной форме, вычитаем из $35$ значение $10\pi$, которое меньше $35$:

$$35 — 10\pi$$

Таким образом, мы получаем:

$$\cos(35) = \cos(35 — 10\pi)$$

Ответ:

$$\cos(35) = \cos(35 — 10\pi)$$

Итоговые ответы:

1. $\sin(8) = \sin(8 — 2\pi)$
2. $\cos(-10) = \cos(-10 + 4\pi)$
3. $\sin(-25) = \sin(-25 + 8\pi)$
4. $\cos(35) = \cos(35 — 10\pi)$