ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Является ли число $32\pi$ периодом функции $y = \sin x$, $y = \cos x$? А основным периодом?

Является ли число $32\pi$ периодом функции:

1. $y = \sin x$;
   $y(x + 32\pi) = \sin(x + 32\pi) = \sin(x + 16 \cdot 2\pi) = \sin x$;
   $y(x — 32\pi) = \sin(x — 32\pi) = \sin(x — 16 \cdot 2\pi) = \sin x$;
2. $y = \cos x$;
   $y(x + 32\pi) = \cos(x + 32\pi) = \cos(x + 16 \cdot 2\pi) = \cos x$;
   $y(x — 32\pi) = \cos(x — 32\pi) = \cos(x — 16 \cdot 2\pi) = \cos x$;
3. Основным периодом функций является число:
   $T = 2\pi$;

Ответ: да; нет.

Необходимо выяснить, является ли число $32\pi$ периодом функции для двух тригонометрических функций: $y = \sin x$ и $y = \cos x$, а также определить основной период этих функций.

Часть 1: Является ли число $32\pi$ периодом функции $y = \sin x$?

Функция $y = \sin x$ является периодической с периодом $2\pi$, это означает, что для любого $x$ выполняется следующее равенство:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin x.$$

Проверим, является ли $32\pi$ периодом для $\sin x$:

• Для функции $y = \sin x$, чтобы проверить, является ли число $32\pi$ периодом, нужно проверить следующее условие:

  $$\sin(x + 32\pi) = \sin x.$$

• Рассмотрим выражение $\sin(x + 32\pi)$. Используем свойство периодичности функции синуса:

  $$\sin(x + 32\pi) = \sin(x + 16 \cdot 2\pi).$$

  Здесь мы представляем $32\pi$ как $16 \cdot 2\pi$, где $2\pi$ — это основной период функции синуса.

• Теперь, с учетом периодичности синуса:

  $$\sin(x + 16 \cdot 2\pi) = \sin x.$$

Таким образом, $\sin(x + 32\pi) = \sin x$, что означает, что $32\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

• Аналогично проверим для выражения $\sin(x — 32\pi)$:

  $$\sin(x — 32\pi) = \sin(x — 16 \cdot 2\pi).$$

  Используем тот же принцип:

  $$\sin(x — 16 \cdot 2\pi) = \sin x.$$

  Следовательно:

  $$\sin(x — 32\pi) = \sin x.$$

Таким образом, для функции $\sin x$ выполняется равенство как для $x + 32\pi$, так и для $x — 32\pi$, что подтверждает, что $32\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

Часть 2: Является ли число $32\pi$ периодом функции $y = \cos x$?

Функция $y = \cos x$ также является периодической, с периодом $2\pi$, что означает, что для любого $x$ выполняется равенство:

$$\cos(x + 2\pi) = \cos x.$$

Проверим, является ли $32\pi$ периодом для $\cos x$:

• Для функции $y = \cos x$, чтобы проверить, является ли число $32\pi$ периодом, нужно также проверить следующее условие:

  $$\cos(x + 32\pi) = \cos x.$$

• Рассмотрим выражение $\cos(x + 32\pi)$. Используем свойство периодичности функции косинуса:

  $$\cos(x + 32\pi) = \cos(x + 16 \cdot 2\pi).$$

  Снова представляем $32\pi$ как $16 \cdot 2\pi$.

• Теперь, с учетом периодичности косинуса:

  $$\cos(x + 16 \cdot 2\pi) = \cos x.$$

Таким образом, $\cos(x + 32\pi) = \cos x$, что означает, что $32\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

• Аналогично проверим для выражения $\cos(x — 32\pi)$:

  $$\cos(x — 32\pi) = \cos(x — 16 \cdot 2\pi).$$

  С учетом того, что $\cos(x — 16 \cdot 2\pi) = \cos x$, получаем:

  $$\cos(x — 32\pi) = \cos x.$$

Таким образом, для функции $\cos x$ также выполняется равенство как для $x + 32\pi$, так и для $x — 32\pi$, что подтверждает, что $32\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

Часть 3: Основной период функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$

Основной период функции — это наименьшее положительное число, при котором функция возвращается к своему начальному значению.

• Для функции $y = \sin x$, основной период равен $2\pi$, так как:

  $$\sin(x + 2\pi) = \sin x \quad \text{и} \quad \sin(x — 2\pi) = \sin x.$$

  Поэтому основной период функции $y = \sin x$ — это $T = 2\pi$.

• Для функции $y = \cos x$, основной период также равен $2\pi$, так как:

  $$\cos(x + 2\pi) = \cos x \quad \text{и} \quad \cos(x — 2\pi) = \cos x.$$

  Поэтому основной период функции $y = \cos x$ — это $T = 2\pi$.

Ответ:

• Да, число $32\pi$ является периодом для функции $y = \sin x$.
• Да, число $32\pi$ является периодом для функции $y = \cos x$.
• Основным периодом для обеих функций является $T = 2\pi$.