ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите, преобразовав заданное выражение ($\sin t$ или $\cos t$) в вид $\sin t_0$ или $\cos t_0$, так, чтобы выполнялось соотношение $0 < t_0 < 2\pi$ или $0 < t_0 < 360^\circ$.

а) $\sin 50,5\pi$

б) $\sin 51,75\pi$

в) $\sin 25,25\pi$

г) $\sin 29,5\pi$

Вычислить, преобразовав выражение:

а) $\sin 50,5\pi = \sin(0,5\pi + 50\pi) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 25 \cdot 2\pi\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;

Ответ: $1$.

б) $\sin 51,75\pi = \sin(1,75\pi + 50\pi) = \sin\left(\frac{7\pi}{4} + 25 \cdot 2\pi\right) = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\sin 25,25\pi = \sin(1,25\pi + 24\pi) = \sin\left(\frac{5\pi}{4} + 12 \cdot 2\pi\right) = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\sin 29,5\pi = \sin(1,5\pi + 28\pi) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 14 \cdot 2\pi\right) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$;

Ответ: $-1$.

Для того чтобы вычислить выражение $\sin t$ или $\cos t$, преобразовав его в вид $\sin t_0$ или $\cos t_0$, где $0 < t_0 < 2\pi$ или $0 < t_0 < 360^\circ$, необходимо воспользоваться свойствами периодичности тригонометрических функций.

Шаги преобразования:

Понимание периодичности:

• $\sin(t + 2k\pi) = \sin t$ для любого целого $k$.
• $\cos(t + 2k\pi) = \cos t$ для любого целого $k$.

Это означает, что синус и косинус имеют период $2\pi$ (или $360^\circ$ для углов в градусах). Это свойство позволяет нам уменьшать или увеличивать угол, так чтобы он попадал в нужный интервал.

Преобразование угла в нужный интервал:

• Нам нужно преобразовать углы так, чтобы они попадали в диапазон $0 < t_0 < 2\pi$ (или $0^\circ < t_0 < 360^\circ$).
• Для этого обычно используется операция вычитания или добавления целых кратных $2\pi$ (или $360^\circ$), чтобы угол оказался в пределах одного периода.

а) $\sin 50,5\pi$.

Шаг 1: Разделим угол на две части:

$$50,5\pi = 0,5\pi + 50\pi$$

Это можно интерпретировать как $\sin(0,5\pi + 50\pi)$.

Шаг 2: Используем периодичность синуса. Период синуса равен $2\pi$, значит, $\sin(0,5\pi + 50\pi)$ равно $\sin(0,5\pi)$, потому что $50\pi$ — это целое число кратных $2\pi$.

Шаг 3: Поскольку $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, то:

$$\sin 50,5\pi = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ: $1$.

б) $\sin 51,75\pi$.

Шаг 1: Разделим угол:

$$51,75\pi = 1,75\pi + 50\pi$$

Это можно интерпретировать как $\sin(1,75\pi + 50\pi)$.

Шаг 2: Используем периодичность. Период синуса равен $2\pi$, значит, $\sin(1,75\pi + 50\pi) = \sin(1,75\pi)$.

Шаг 3: $1,75\pi = \frac{7\pi}{4}$, это угол, который находится в пределах $0$ до $2\pi$, поэтому:

$$\sin 51,75\pi = \sin \frac{7\pi}{4}$$

Значение синуса $\frac{7\pi}{4}$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как угол $\frac{7\pi}{4}$ соответствует углу $315^\circ$, а синус этого угла равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\sin 25,25\pi$:

Шаг 1: Разделим угол:

$$25,25\pi = 1,25\pi + 24\pi$$

Это можно интерпретировать как $\sin(1,25\pi + 24\pi)$.

Шаг 2: Используем периодичность. Период синуса равен $2\pi$, значит, $\sin(1,25\pi + 24\pi) = \sin(1,25\pi)$.

Шаг 3: $1,25\pi = \frac{5\pi}{4}$, это угол, который находится в пределах $0$ до $2\pi$, поэтому:

$$\sin 25,25\pi = \sin \frac{5\pi}{4}$$

Значение синуса $\frac{5\pi}{4}$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как угол $\frac{5\pi}{4}$ соответствует углу $225^\circ$, а синус этого угла равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\sin 29,5\pi$:

Шаг 1: Разделим угол:

$$29,5\pi = 1,5\pi + 28\pi$$

Это можно интерпретировать как $\sin(1,5\pi + 28\pi)$.

Шаг 2: Используем периодичность. Период синуса равен $2\pi$, значит, $\sin(1,5\pi + 28\pi) = \sin(1,5\pi)$.

Шаг 3: $1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$, это угол, который находится в пределах $0$ до $2\pi$, поэтому:

$$\sin 29,5\pi = \sin \frac{3\pi}{2}$$

Значение синуса $\frac{3\pi}{2}$ равно $-1$, так как угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует углу $270^\circ$, а синус этого угла равен $-1$.

Ответ: $-1$.

Итог:

• $\sin 50,5\pi = 1$
• $\sin 51,75\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 25,25\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 29,5\pi = -1$