ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите, преобразовав заданное выражение ($\sin t$ или $\cos t$) в вид $\sin t_0$ или $\cos t_0$, так, чтобы выполнялось соотношение $0<t_0<2\pi$ или $0<t_0<{360}^{\circ }$.

а) $\sin {390}^{\circ }$

б) $\cos {750}^{\circ }$

в) $\sin {540}^{\circ }$

г) $\cos {930}^{\circ }$

Вычислить, преобразовав выражение:

а) $\sin 390^\circ = \sin(30^\circ + 360^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\cos 750^\circ = \cos(30^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sin 540^\circ = \sin(180^\circ + 360^\circ) = \sin 180^\circ = 0$;

Ответ: $0$.

г) $\cos 930^\circ = \cos(210^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для вычисления тригонометрических функций углов, превышающих $360^\circ$, необходимо привести их в эквивалентный угол в пределах одного круга $0^\circ \leq t_0 < 360^\circ$. Мы будем использовать периодичность тригонометрических функций:

• $\sin(t + 360^\circ) = \sin t$ (период синуса — $360^\circ$)
• $\cos(t + 360^\circ) = \cos t$ (период косинуса — $360^\circ$)

Если угол превышает $360^\circ$, мы будем вычитать из него целые кратные $360^\circ$, чтобы получить угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Рассмотрим это на примерах:

а) $\sin 390^\circ$

Шаг 1: Разделим угол $390^\circ$ на более простую форму:

$$390^\circ = 30^\circ + 360^\circ$$

Шаг 2: Используем свойство периодичности синуса:

$$\sin(30^\circ + 360^\circ) = \sin 30^\circ$$

Шаг 3: Значение $\sin 30^\circ$ известно и равно $\frac{1}{2}$.

$$\sin 390^\circ = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\cos 750^\circ$

Шаг 1: Разделим угол $750^\circ$ на более простую форму:

$$750^\circ = 30^\circ + 2 \cdot 360^\circ$$

Шаг 2: Используем свойство периодичности косинуса:

$$\cos(30^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 3: Значение $\cos 30^\circ$ известно и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$\cos 750^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\sin 540^\circ$

Шаг 1: Разделим угол $540^\circ$ на более простую форму:

$$540^\circ = 180^\circ + 360^\circ$$

Шаг 2: Используем свойство периодичности синуса:

$$\sin(180^\circ + 360^\circ) = \sin 180^\circ$$

Шаг 3: Значение $\sin 180^\circ$ известно и равно $0$.

$$\sin 540^\circ = 0$$

Ответ: $0$

г) $\cos 930^\circ$

Шаг 1: Разделим угол $930^\circ$ на более простую форму:

$$930^\circ = 210^\circ + 2 \cdot 360^\circ$$

Шаг 2: Используем свойство периодичности косинуса:

$$\cos(210^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos 210^\circ$$

Шаг 3: Значение $\cos 210^\circ$ известно и равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как угол $210^\circ$ находится во 3-й четверти, где косинус отрицателен.

$$\cos 930^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Итоговые ответы:

1. $\sin 390^\circ = \frac{1}{2}$
2. $\cos 750^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $\sin 540^\circ = 0$
4. $\cos 930^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, для каждого угла мы использовали периодичность тригонометрических функций и привели углы в диапазон $0^\circ \leq t_0 < 360^\circ$, после чего вычислили значения тригонометрических функций.