ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$;

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$

Доказать тождество:

а) $\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$;

$$\sin^2(x — 4 \cdot 2\pi) = 1 — \cos^2(8 \cdot 2\pi — x);$$ $$\sin^2 x = 1 — \cos^2(-x);$$ $$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x = \sin^2 x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$;

$$\cos^2(2 \cdot 2\pi + x) = 1 — \sin^2(11 \cdot 2\pi — x);$$ $$\cos^2 x = 1 — \sin^2(-x);$$ $$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x;$$ $$\cos^2 x = \cos^2 x;$$

Тождество доказано.

Часть а)

Нам нужно доказать тождество:

$$\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$$

Шаг 1: Применение тригонометрических свойств

Сначала рассмотрим свойства синуса и косинуса с учётом периодичности этих функций.

1. $\sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta)$ — синус имеет период $2\pi$.
2. $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)$ — косинус также имеет период $2\pi$.

Воспользуемся этими свойствами.

Шаг 2: Упрощение левой части

Посмотрим на левую часть: $\sin^2(x — 8\pi)$.

Используем свойство периодичности синуса. Период функции синуса — $2\pi$, а $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, то есть:

$$\sin(x — 8\pi) = \sin(x)$$

Следовательно:

$$\sin^2(x — 8\pi) = \sin^2(x)$$

Шаг 3: Упрощение правой части

Теперь рассмотрим правую часть: $1 — \cos^2(16\pi — x)$.

Также, применяя периодичность косинуса (с периодом $2\pi$), имеем:

$$\cos(16\pi — x) = \cos(-x) = \cos(x)$$

Так как $16\pi = 8 \cdot 2\pi$, косинус остаётся неизменным, несмотря на сдвиг на $16\pi$. Следовательно:

$$\cos^2(16\pi — x) = \cos^2(x)$$

Таким образом, правая часть:

$$1 — \cos^2(16\pi — x) = 1 — \cos^2(x)$$

Шаг 4: Приведение обеих частей к одному виду

Теперь у нас есть:

$$\sin^2(x) = 1 — \cos^2(x)$$

Это тождество истинно по основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Отсюда:

$$\sin^2(x) = 1 — \cos^2(x)$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$$

Часть б)

Теперь рассмотрим второе тождество:

$$\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$$

Шаг 1: Применение тригонометрических свойств

Как и в предыдущем случае, мы используем периодичность функций косинуса и синуса с периодом $2\pi$.

1. $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)$
2. $\sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta)$

Шаг 2: Упрощение левой части

Посмотрим на левую часть: $\cos^2(4\pi + x)$.

Так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, то:

$$\cos(4\pi + x) = \cos(x)$$

Следовательно:

$$\cos^2(4\pi + x) = \cos^2(x)$$

Шаг 3: Упрощение правой части

Теперь рассмотрим правую часть: $1 — \sin^2(22\pi — x)$.

Применяя периодичность синуса (период $2\pi$), имеем:

$$\sin(22\pi — x) = \sin(-x) = -\sin(x)$$

Следовательно:

$$\sin^2(22\pi — x) = \sin^2(x)$$

Таким образом:

$$1 — \sin^2(22\pi — x) = 1 — \sin^2(x)$$

Шаг 4: Приведение обеих частей к одному виду

Теперь у нас есть:

$$\cos^2(x) = 1 — \sin^2(x)$$

И это снова является истинным по основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Отсюда:

$$\cos^2(x) = 1 — \sin^2(x)$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$$