ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) у = 2sinx;

б) у = -cosx;

в) у = -sinx;

г) у = 3cosx.

Построить график функции:

а) $y = 2 \sin x$;

Построим график функции $y = \sin x$;
Растянем его в 2 раза от оси абсцисс:

б) $y = -\cos x$;

Построим график функции $y = \cos x$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

в) $y = -\sin x$;

Построим график функции $y = \sin x$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

г) $y = 3 \cos x$;

Построим график функции $y = \cos x$;
Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

а) $y = 2 \sin x$:

Рассмотрим график функции $y = \sin x$:

• Функция синуса $y = \sin x$ является периодической функцией с периодом $2\pi$.
• Амплитуда функции $\sin x$ равна 1, то есть колебания функции происходят между значениями $y = -1$ и $y = 1$.

Применим растяжение функции вдоль оси $y$:

• Умножение функции $y = \sin x$ на 2 означает растяжение графика функции в два раза по вертикальной оси (оси $y$).
• Таким образом, новая амплитуда функции $y = 2 \sin x$ будет равна 2, то есть график будет колебаться между значениями $y = -2$ и $y = 2$.

График функции $y = 2 \sin x$:

• График функции $y = 2 \sin x$ будет похож на график функции $y = \sin x$, но растянут по вертикали.
• Период функции $y = 2 \sin x$ останется равным $2\pi$, так как растяжение не влияет на период.
• Точки пересечения с осью абсцисс будут те же, что и у функции $y = \sin x$, то есть при $x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$.

Итог: График функции $y = 2 \sin x$ имеет амплитуду 2 и период $2\pi$, и он растянут по вертикали.

б) $y = -\cos x$:

Рассмотрим график функции $y = \cos x$:

• Функция косинуса $y = \cos x$ также является периодической с периодом $2\pi$.
• Амплитуда функции $\cos x$ равна 1, то есть график колеблется между значениями $y = -1$ и $y = 1$.

Отражение функции относительно оси $x$:

• Умножение функции $y = \cos x$ на -1 (при образовании функции $y = -\cos x$) означает отражение графика функции относительно оси $x$.
• В результате этого отражения точки, находившиеся выше оси абсцисс, будут располагаться ниже, а те, что были ниже, — выше оси.

График функции $y = -\cos x$:

• График функции будет похож на график функции $y = \cos x$, но с инвертированным положением.
• Период останется равным $2\pi$, амплитуда также не изменится и останется равной 1.
• Точки пересечения с осью абсцисс остаются теми же, что и у функции $y = \cos x$, то есть при $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \dots$.

Итог: График функции $y = -\cos x$ является отражением графика функции $y = \cos x$ относительно оси $x$.

в) $y = -\sin x$:

Рассмотрим график функции $y = \sin x$:

• Функция синуса $y = \sin x$ имеет период $2\pi$, и её амплитуда равна 1.
• График функции колеблется между значениями $y = -1$ и $y = 1$.

Отражение функции относительно оси $x$:

• Умножение функции $y = \sin x$ на -1, то есть $y = -\sin x$, приводит к отражению графика функции относительно оси $x$.
• Все значения функции, которые были выше оси, теперь будут располагаться ниже, а те, что были ниже, — выше.

График функции $y = -\sin x$:

• График функции будет аналогичен графику $y = \sin x$, но с инвертированным положением относительно оси $x$.
• Период функции и амплитуда останутся без изменений (период $2\pi$, амплитуда 1).
• Точки пересечения с осью абсцисс также будут совпадать с точками функции $y = \sin x$.

Итог: График функции $y = -\sin x$ является отражением графика функции $y = \sin x$ относительно оси $x$.

г) $y = 3 \cos x$:

Рассмотрим график функции $y = \cos x$:

• Функция косинуса $y = \cos x$ имеет период $2\pi$ и амплитуду 1.
• График функции колеблется между значениями $y = -1$ и $y = 1$.

Растяжение функции вдоль оси $y$:

• Умножение функции $y = \cos x$ на 3, то есть $y = 3 \cos x$, приводит к растяжению графика по вертикали.
• Теперь амплитуда функции станет равной 3, и график будет колебаться между значениями $y = -3$ и $y = 3$.

График функции $y = 3 \cos x$:

• График функции $y = 3 \cos x$ будет растянут в 3 раза по вертикали по сравнению с графиком функции $y = \cos x$.
• Период функции останется равным $2\pi$, так как растяжение не влияет на период.
• Точки пересечения с осью абсцисс будут совпадать с точками функции $y = \cos x$, то есть при $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \dots$.

Итог: График функции $y = 3 \cos x$ будет растянут по вертикали в 3 раза, но с тем же периодом $2\pi$, что и у функции $y = \cos x$.