ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

в) $y = -3 \cos 2x$;

г) $y = 2 \sin \frac{x}{3}$

Построить график функции:

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Растянем ее в 2 раза от оси ординат;
• Растянем ее в 3 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Растянем ее в 2 раза от оси ординат;
• Растянем ее в 2,5 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

в) $y = -3 \cos 2x$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Сожмем ее в 2 раза к оси ординат;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 3 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

г) $y = 2 \sin \frac{x}{3}$;

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Растянем ее в 3 раза от оси ординат;
• Растянем ее в 2 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$

Шаги построения графика:

Исходная функция:
Начнем с графика стандартной функции $y = \sin x$.

• Это синусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и нулевыми значениями в точках $x = 0, \pi, 2\pi, \dots$, максимумы на $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$, и минимумы на $x = \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \dots$.

Преобразование аргумента: $y = \sin \frac{x}{2}$

• Здесь $\frac{x}{2}$ указывает на растяжение графика вдоль оси абсцисс. Мы заменили $x$ на $\frac{x}{2}$, что увеличивает период функции.
• Для функции $y = \sin \frac{x}{2}$ новый период $T$ будет:

  $$T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$$

• Таким образом, график будет растянут в 2 раза по оси $x$, и его период станет $4\pi$ вместо $2\pi$.

Преобразование амплитуды: $y = 3 \sin \frac{x}{2}$

• Умножение на 3 изменяет амплитуду функции. Если $y = \sin x$ имел амплитуду 1, то $y = 3 \sin \frac{x}{2}$ будет колебаться между $-3$ и $3$.

График:

• График функции $y = 3 \sin \frac{x}{2}$ будет синусоидой с амплитудой 3, периодом $4\pi$, и начнется в точке $(0, 0)$, затем пройдет через максимумы и минимумы в зависимости от изменений аргумента и амплитуды.

Ответ: График функции будет синусоидой с периодом $4\pi$, начинающейся в точке $(0, 0)$, и колеблющейся между значениями $-3$ и $3$.

б) $y = 2,5 \cos 2x$

Шаги построения графика:

Исходная функция:
Начнем с графика стандартной функции $y = \cos x$.

• Это косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и значениями $y = 1$ при $x = 0$, $y = -1$ при $x = \pi$, и так далее.

Преобразование аргумента: $y = \cos 2x$

• Здесь $2x$ указывает на сжатие графика по оси абсцисс. Умножение на 2 сжимает период функции.
• Новый период $T$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Таким образом, график будет сжат по оси $x$, и его период станет $\pi$ вместо $2\pi$. Функция будет совершать два полных колебания за период $2\pi$.

Преобразование амплитуды: $y = 2,5 \cos 2x$

• Умножение на 2,5 изменяет амплитуду функции. Если $y = \cos x$ имел амплитуду 1, то $y = 2,5 \cos 2x$ будет колебаться между $-2,5$ и $2,5$.

График:

• График функции будет косинусоидой с амплитудой 2,5 и периодом $\pi$. Он будет совершать два полных колебания за один период $2\pi$.

Ответ: График функции будет косинусоидой с амплитудой 2,5 и периодом $\pi$, совершая два колебания за $2\pi$.

в) $y = -3 \cos 2x$

Шаги построения графика:

Исходная функция:
Начнем с графика стандартной функции $y = \cos x$.

Преобразование аргумента: $y = \cos 2x$

• Как и в предыдущем случае, $2x$ сжимает график по оси абсцисс. Период будет составлять $\pi$, как показано в предыдущем примере.

Преобразование амплитуды: $y = -3 \cos 2x$

• Умножение на -3 означает отражение графика относительно оси $x$, а также растяжение графика в 3 раза по оси $y$. Теперь график будет колебаться между $-3$ и $3$, но в обратном направлении.

График:

• График будет колебаться между $-3$ и $3$, но будет отражен относительно оси $x$, и его период будет равен $\pi$.

Ответ: График функции будет косинусоидой с амплитудой 3 и периодом $\pi$, отраженной относительно оси $x$.

г) $y = 2 \sin \frac{x}{3}$

Шаги построения графика:

Исходная функция:
Начнем с графика стандартной функции $y = \sin x$.

Преобразование аргумента: $y = \sin \frac{x}{3}$

• $\frac{x}{3}$ растягивает график по оси абсцисс. Новый период $T$ будет:

  $$T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$$

• То есть, график будет растянут в 3 раза по оси $x$, и его период будет равен $6\pi$.

Преобразование амплитуды: $y = 2 \sin \frac{x}{3}$

• Умножение на 2 изменяет амплитуду функции. Теперь амплитуда функции будет равна 2, и она будет колебаться между значениями $-2$ и $2$.

График:

• График будет синусоидой с амплитудой 2 и периодом $6\pi$, начиная с точки $(0, 0)$.

Ответ: График функции будет синусоидой с амплитудой 2 и периодом $6\pi$.