ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=3\sin (-x)$

б) $y=-2\cos (-3x)$

в) $y=2\sin (-2x)$

г) $y=-3\cos (-x)$

Построить график функции:

а) $y = 3 \sin(-x) = -3 \sin x$;

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 3 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

б) $y = -2 \cos(-3x) = -2 \cos 3x$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Сожмем ее в 3 раза к оси ординат;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 2 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

в) $y = 2 \sin(-2x) = -2 \sin 2x$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Сожмем ее в 2 раза к оси ординат;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 2 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

г) $y = -3 \cos(-x) = -3 \cos x$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 3 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

а) $y = 3 \sin(-x) = -3 \sin x$

Шаги построения графика:

Исходная функция: $y = \sin x$:

• Это стандартная синусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
• График функции $y = \sin x$ начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$, проходит через ноль в точке $(\pi, 0)$, достигает минимума в точке $\left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right)$ и снова возвращается к нулю в точке $(2\pi, 0)$.

Преобразование аргумента: $y = \sin(-x)$:

• Известно, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, так как синус — нечетная функция. Это означает, что график функции будет симметричен относительно начала координат, то есть будет отражен относительно оси $y$.
• График функции $y = \sin(-x)$ будет идентичен графику $y = -\sin(x)$, что будет означать переворот функции относительно оси $x$.

Преобразование амплитуды: $y = -3 \sin x$:

• Умножение на -3 отражает график относительно оси $x$ и увеличивает амплитуду в 3 раза.
• Это значит, что теперь график будет колебаться между $-3$ и $3$ вместо $-1$ и $1$.

График:

• Функция $y = -3 \sin x$ будет синусоидой с амплитудой 3 и периодом $2\pi$, начнется в точке $(0, 0)$, достигнет максимума в точке $\left( \frac{\pi}{2}, 3 \right)$, пройдет через ноль в точке $(\pi, 0)$, достигнет минимума в точке $\left( \frac{3\pi}{2}, -3 \right)$ и снова вернется к нулю в точке $(2\pi, 0)$.

Ответ: График будет синусоидой с амплитудой 3, отраженной относительно оси $x$, и периодом $2\pi$.

б) $y = -2 \cos(-3x) = -2 \cos 3x$

Шаги построения графика:

Исходная функция: $y = \cos x$:

• Это стандартная косинусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
• График функции $y = \cos x$ начинается в точке $(0, 1)$, достигает нуля в точке $\left( \frac{\pi}{2}, 0 \right)$, достигает минимума в точке $(\pi, -1)$, снова проходит через ноль в точке $\left( \frac{3\pi}{2}, 0 \right)$, и достигает максимума в точке $(2\pi, 1)$.

Преобразование аргумента: $y = \cos(-3x)$:

• Косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Это означает, что отражение функции относительно оси $y$ не влияет на график функции.
• Таким образом, график функции $y = \cos(-3x)$ будет таким же, как и график $y = \cos(3x)$.

Преобразование аргумента: $y = \cos 3x$:

• Умножение аргумента на 3 сжимает график функции по оси $x$.
• Новый период $T$ функции $y = \cos 3x$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{3}$$

• Это значит, что график будет совершать 3 полных колебания за один период $2\pi$.

Преобразование амплитуды: $y = -2 \cos 3x$:

• Умножение на -2 изменяет амплитуду функции на 2 и отражает ее относительно оси $x$.
• Теперь график будет колебаться между $-2$ и $2$.

График:

• Функция $y = -2 \cos 3x$ будет косинусоидой с амплитудой 2, отраженной относительно оси $x$, с периодом $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График будет косинусоидой с амплитудой 2, отраженной относительно оси $x$, и периодом $\frac{2\pi}{3}$.

в) $y = 2 \sin(-2x) = -2 \sin 2x$

Шаги построения графика:

Исходная функция: $y = \sin x$:

• Это стандартная синусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$, и основными точками: $(0, 0), \left( \frac{\pi}{2}, 1 \right), (\pi, 0), \left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right), (2\pi, 0)$.

Преобразование аргумента: $y = \sin(-2x)$:

• Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$, отражение функции относительно оси $x$ приводит к изменению знака на противоположный. Это делает график аналогичным функции $y = -\sin(2x)$.

Преобразование аргумента: $y = \sin 2x$:

• Умножение аргумента на 2 сжимает график по оси $x$.
• Новый период $T$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Это значит, что график будет совершать два полных колебания за один период $2\pi$.

Преобразование амплитуды: $y = -2 \sin 2x$:

• Умножение на -2 изменяет амплитуду функции на 2 и отражает график относительно оси $x$.
• Теперь график будет колебаться между $-2$ и $2$.

График:

• График функции $y = -2 \sin 2x$ будет синусоидой с амплитудой 2, сжатой по оси $x$ в 2 раза, и отраженной относительно оси $x$.

Ответ: График будет синусоидой с амплитудой 2, сжатой по оси $x$ в 2 раза, и отраженной относительно оси $x$, с периодом $\pi$.

г) $y = -3 \cos(-x) = -3 \cos x$

Шаги построения графика:

Исходная функция: $y = \cos x$:

• Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$, и основными точками: $(0, 1), \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right), (\pi, -1), \left( \frac{3\pi}{2}, 0 \right), (2\pi, 1)$.

Преобразование аргумента: $y = \cos(-x)$:

• Косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, и отражение функции относительно оси $y$ не влияет на график функции. Поэтому график будет таким же, как и для $y = \cos(x)$.

Преобразование амплитуды: $y = -3 \cos x$:

• Умножение на -3 изменяет амплитуду на 3 и отражает график относительно оси $x$.
• Теперь график будет колебаться между $-3$ и $3$.

График:

• График функции $y = -3 \cos x$ будет косинусоидой с амплитудой 3, отраженной относительно оси $x$, и периодом $2\pi$.

Ответ: График будет косинусоидой с амплитудой 3, отраженной относительно оси $x$, и периодом $2\pi$.