ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin2x:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$;

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$;

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$;

г) На полуинтервале $(0; \pi]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{4}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{2} \right) = \sin(-\pi) = -\sin \pi = 0;$$ $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 0$.

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right)$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{2\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{2} \right) = \sin \pi = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ нет; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{2\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $(0; \pi]$;

В промежуток входит полный период функции:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi;$$ $$l = \pi — 0 = \pi;$$ $$-1 \leq \sin 2x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

В данной задаче мы будем искать наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin 2x$ на различных промежутках, учитывая свойства синусоидальной функции и изменения, связанные с аргументом. Рассмотрим каждый случай подробно.

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$

1. Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Функция $y = \sin x$ — это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
• Синус возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$.

  Для $y = \sin x$:

  • При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$.
  • При $x = 0$, $y = \sin 0 = 0$.
  • Максимум функции на этом интервале — $y = 0$, минимум — $y = -1$.

2. Преобразование функции $y = \sin 2x$:

• Функция $y = \sin 2x$ отличается от стандартной синусоиды тем, что её аргумент умножен на 2, что влияет на период.
• Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$, а период функции $y = \sin 2x$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Таким образом, функция $y = \sin 2x$ совершает полный цикл за $\pi$ (в два раза быстрее, чем обычная синусоида).
• На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ мы видим половину периода функции $y = \sin 2x$.

3. Нахождение значений функции на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$:

• При $x = -\frac{\pi}{2}$:

  $$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{2} \right) = \sin(-\pi) = 0$$

• При $x = -\frac{\pi}{4}$:

  $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$$

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0$$

4. Ответ:

• Наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 0$
• Наименьшее значение функции $y_{\text{наим}} = -1$

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$

1. Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right)$.

  Для $y = \sin x$:

  • На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$ функция возрастает.

2. Преобразование функции $y = \sin 2x$:

• Поскольку функция $y = \sin 2x$ имеет период $\pi$, она совершает один полный цикл на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$.
• Таким образом, $y = \sin 2x$ будет возрастать на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ и убывать на интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$.

3. Нахождение значений функции на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$:

• При $x = -\frac{\pi}{4}$:

  $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$$

• При $x = \frac{\pi}{4}$:

  $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin \pi = 0$$

4. Ответ:

• Наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 1$
• Наименьшее значение функции $y_{\text{наим}}$ не существует на этом интервале, так как функция не достигает отрицательных значений.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$

1. Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.

  Для $y = \sin x$:

  • На интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ функция возрастает.

2. Преобразование функции $y = \sin 2x$:

• На интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ функция $y = \sin 2x$ возрастает, так как период функции равен $\pi$, и на данном отрезке функция будет иметь положительные значения.

3. Нахождение значений функции на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$:

• При $x = -\frac{\pi}{4}$:

  $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$$

• При $x = \frac{\pi}{4}$:

  $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$

4. Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 1$

г) На полуинтервале $(0; \pi]$

1. Период функции $y = \sin 2x$:

• Период функции $y = \sin 2x$ равен:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Таким образом, график функции за интервал $(0; \pi]$ пройдет один полный цикл.

2. Значения функции на интервале $(0; \pi]$:

• Мы знаем, что для функции $y = \sin 2x$:

  $$-1 \leq \sin 2x \leq 1$$

• Это означает, что на интервале $(0; \pi]$ функция будет колебаться между значениями $-1$ и $1$.

3. Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 1$