ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \sin 2x — 1$;

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

в) $y = \cos 2x + 3$;

г) $y = \sin \frac{x}{3} — 2$

Построить график функции:

а) $y = \sin 2x — 1$;

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Сожмем ее в 2 раза к оси ординат;
• Переместим ее на 1 единицу вниз;

Достроим график функции:

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Растянем ее в 2 раза от оси ординат;
• Переместим ее на 1 единицу вверх;

Достроим график функции:

в) $y = \cos 2x + 3$;

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Сожмем ее в 2 раза к оси ординат;
• Переместим ее на 3 единицы вверх;

Достроим график функции:

г) $y = \sin \frac{x}{3} — 2$;

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Растянем ее в 3 раза от оси ординат;
• Переместим ее на 2 единицы вниз;

Достроим график функции:

а) $y = \sin 2x — 1$

1. Исходная функция: $y = \sin x$

• Это стандартная синусоида, которая колеблется между $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$. График начинается в точке $(0, 0)$, проходит через максимумы в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ и минимумы в точках $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \dots$.

2. Шаг 1 — Сжатие графика по оси ординат:

• При изменении функции на $y = \sin 2x$ происходит сжатие графика по оси $y$.
• Для функции $y = \sin 2x$ период уменьшается в 2 раза, так как период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$, а период $y = \sin 2x$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Следовательно, график будет совершать один полный цикл за $\pi$, что означает, что частота колебаний увеличилась.

3. Шаг 2 — Сдвиг вниз на 1 единицу:

• При добавлении $-1$ к функции $y = \sin 2x$ происходит сдвиг графика вниз на 1 единицу.
• Таким образом, весь график функции будет перемещён на 1 единицу ниже оси $x$.

4. Результат:

• График функции $y = \sin 2x — 1$ будет синусоидой с амплитудой 1 и периодом $\pi$, сдвинутой на 1 единицу вниз.
• Он будет колебаться между $-2$ и $0$, достигая максимума в точке $0$ и минимума в точке $-2$.

Ответ:

• График будет синусоидой с периодом $\pi$, максимальное значение $0$, минимальное значение $-2$.

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$

1. Исходная функция: $y = \cos x$

• Это стандартная косинусоида, которая колеблется между $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$. График начинается в точке $(0, 1)$, достигает нуля в точке $\frac{\pi}{2}, -1$ в точке $\pi$, снова возвращается к нулю в точке $\frac{3\pi}{2}$ и достигает максимума $1$ в точке $2\pi$.

2. Шаг 1 — Растяжение графика по оси абсцисс:

• При изменении аргумента $\frac{x}{2}$ вместо $x$, происходит растяжение графика функции по оси $x$ в 2 раза.
• Если период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$, то новый период функции $y = \cos \frac{x}{2}$ будет:

  $$T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$$

• Таким образом, график будет совершать один полный цикл за $4\pi$, что означает увеличение длины одного колебания в 2 раза.

3. Шаг 2 — Сдвиг вверх на 1 единицу:

• При добавлении $+1$ к функции $y = \cos \frac{x}{2}$, весь график будет сдвинут вверх на 1 единицу.
• Это означает, что теперь минимумы будут на уровне $0$, а максимумы — на уровне $2$.

4. Результат:

• График функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ будет косинусоидой с амплитудой 1, периодом $4\pi$, и сдвигом вверх на 1 единицу.
• График будет колебаться между $0$ и $2$, с максимальным значением $2$ и минимальным значением $0$.

Ответ:

• График будет косинусоидой с периодом $4\pi$, максимальное значение $2$, минимальное значение $0$.

в) $y = \cos 2x + 3$

1. Исходная функция: $y = \cos x$

• График функции $y = \cos x$ начинается в точке $(0, 1)$, и колеблется между $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$.

2. Шаг 1 — Сжатие графика по оси абсцисс:

• При изменении аргумента на $2x$ происходит сжатие графика функции по оси $x$ в 2 раза.
• Новый период $T$ функции $y = \cos 2x$ будет:

  $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Таким образом, график будет совершать один полный цикл за $\pi$, что означает, что частота колебаний увеличится.

3. Шаг 2 — Сдвиг вверх на 3 единицы:

• При добавлении $+3$ к функции $y = \cos 2x$, весь график будет сдвинут вверх на 3 единицы.
• Это означает, что теперь минимумы будут на уровне $2$, а максимумы — на уровне $4$.

4. Результат:

• График функции $y = \cos 2x + 3$ будет косинусоидой с амплитудой 1 и периодом $\pi$, сдвинутой на 3 единицы вверх.
• График будет колебаться между $2$ и $4$, с максимальным значением $4$ и минимальным значением $2$.

Ответ:

• График будет косинусоидой с периодом $\pi$, максимальное значение $4$, минимальное значение $2$.

г) $y = \sin \frac{x}{3} — 2$

1. Исходная функция: $y = \sin x$

• График функции $y = \sin x$ начинается в точке $(0, 0)$, колеблется между $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$.

2. Шаг 1 — Растяжение графика по оси абсцисс:

• При изменении аргумента на $\frac{x}{3}$ происходит растяжение графика функции по оси $x$ в 3 раза.
• Новый период $T$ функции $y = \sin \frac{x}{3}$ будет:

  $$T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$$

• Таким образом, график будет совершать один полный цикл за $6\pi$, что означает увеличение длины одного колебания в 3 раза.

3. Шаг 2 — Сдвиг вниз на 2 единицы:

• При добавлении $-2$ к функции $y = \sin \frac{x}{3}$, весь график будет сдвинут вниз на 2 единицы.
• Это означает, что теперь минимумы будут на уровне $-3$, а максимумы — на уровне $-1$.

4. Результат:

• График функции $y = \sin \frac{x}{3} — 2$ будет синусоидой с амплитудой 1, периодом $6\pi$, сдвинутой вниз на 2 единицы.
• График будет колебаться между $-3$ и $-1$, с максимальным значением $-1$ и минимальным значением $-3$.

Ответ:

• График будет синусоидой с периодом $6\pi$, максимальное значение $-1$, минимальное значение $-3$.