ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=3\sin (x+\frac{\pi }{2})$

б) $y=\cos \frac{1}{2}(x+\frac{\pi }{3})$

Построить график функции:

а) $y = 3 \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$

Нули функции:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$x + \frac{\pi}{2} = \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x_0 = -\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2};$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{2} + \pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0;$$ $$y = 3 \sin \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} = 3;$$

График функции:

б) $y = \cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Нули функции:

$$\cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$\frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x + \frac{\pi}{3} = \pm \pi + 4\pi n;$$ $$x_0 = -\frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3};$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{3};$$ $$y = \cos \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = 1;$$

График функции:

Построить график функции:

а) $y = 3 \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$

Шаг 1. Анализ функции $y = 3 \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$

Это тригонометрическая функция синуса с амплитудой 3 и сдвигом по оси $x$ на $-\frac{\pi}{2}$.

1. Амплитуда: коэффициент перед синусом равен 3, что означает, что график функции будет растянут по оси $y$ в 3 раза. То есть максимальное значение функции будет 3, а минимальное -3.
2. Сдвиг по оси $x$: выражение $\left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ указывает на сдвиг графика функции синуса на $-\frac{\pi}{2}$ вдоль оси $x$. В обычной функции $\sin(x)$ период $2\pi$, но с этим сдвигом функция начинает «колебания» на $x = -\frac{\pi}{2}$, а не на 0.

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = 3 \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ соответствуют точкам, где $\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0$.

Решим уравнение для синуса:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0.$$

Синус равен нулю в точках $x + \frac{\pi}{2} = \pi n$, где $n$ — целое число.

$$x + \frac{\pi}{2} = \pi n.$$

Из этого уравнения получаем:

$$x = -\frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом, нули функции будут располагаться на числах вида:

$$x_0 = -\frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}, \quad x_1 = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}, \quad \dots$$

Это означает, что нули функции будут через каждые $\pi$ на оси $x$, начиная с $x = -\frac{\pi}{2}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ и $x_1 = \frac{\pi}{2}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0.$$

Это означает, что середина дуги находится в точке $x = 0$.
2. Ордината середины дуги: подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$$y = 3 \sin \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} = 3.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно 3.

Шаг 4. Период функции

Период функции $y = 3 \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ такой же, как и у стандартной функции синуса, поскольку коэффициент перед $x$ равен 1. Период функции синуса всегда равен $2\pi$, то есть:

$$T = 2\pi.$$

Шаг 5. График функции

Мы знаем, что:

• Функция начинается с нуля в точке $x = -\frac{\pi}{2}$.
• Функция достигает максимума в точке $x = 0$, где значение функции равно 3.
• Функция снова пересекает ось $x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$.
• Далее график повторяет этот цикл с периодом $2\pi$.

Таким образом, график функции будет иметь форму обычного графика синуса, растянутого по оси $y$ в 3 раза и сдвинутого на $-\frac{\pi}{2}$ по оси $x$.

б) $y = \cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Шаг 1. Анализ функции $y = \cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Это тригонометрическая функция косинуса с амплитудой 1 и сдвигом по оси $x$ на $-\frac{\pi}{3}$. Также, внутри аргумента косинуса есть коэффициент $\frac{1}{2}$, который влияет на период функции.

1. Амплитуда: поскольку перед косинусом нет множителя, амплитуда равна 1.
2. Сдвиг по оси $x$: сдвиг $\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ означает, что график функции будет сдвинут на $-\frac{\pi}{3}$.
3. Изменение периода: коэффициент $\frac{1}{2}$ перед $x$ влияет на период функции. Стандартный период косинуса $2\pi$ будет умножен на $2$, так как $\frac{1}{2}$ сокращает скорость изменения функции. Таким образом, новый период функции:

$$T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi.$$

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = \cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ соответствуют точкам, где косинус равен нулю.

Решим уравнение для косинуса:

$$\cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Косинус равен нулю в точках $\frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

$$\frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$x + \frac{\pi}{3} = \pm \pi + 4\pi n.$$

Решая для $x$, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{4\pi}{3}, \quad x_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}.$$

Таким образом, нули функции находятся в точках $x = -\frac{4\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = -\frac{4\pi}{3}$ и $x_1 = \frac{2\pi}{3}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Ордината середины дуги: подставим $x = -\frac{\pi}{3}$ в уравнение функции:

$$y = \cos \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = 1.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно 1.

Шаг 4. Период функции

Период функции $y = \cos \frac{1}{2} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ равен $4\pi$, как уже было определено ранее.

Шаг 5. График функции

График функции будет напоминать график стандартной функции косинуса, растянутой по оси $x$ в два раза (период увеличен до $4\pi$) и сдвинутой на $-\frac{\pi}{3}$.