ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$;

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$

Построить график функции:

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$;

Нули функции:

$$\sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = 0;$$ $$3x — \frac{3\pi}{4} = \pi n;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi n}{3};$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3};$$ $$x_0 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \cdot 0 = \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12};$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{12};$$ $$y = 2 \sin \left( \frac{15\pi}{12} — \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2;$$

График функции:

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$;

Нули функции:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_0 = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12};$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{6};$$ $$y = -3 \cos \left( -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = -3 \cos 0 = -3;$$

График функции:

Построить график функции:

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$

Шаг 1. Анализ функции $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$

Это тригонометрическая функция синуса, но с несколькими модификациями:

1. Амплитуда: коэффициент перед синусом равен 2, что означает, что график функции будет растянут по оси $y$ в 2 раза. Максимальное значение функции будет равно 2, а минимальное значение будет равно -2.
2. Период: перед $x$ стоит коэффициент 3, что влияет на период функции. Период стандартной функции синуса $\sin(x)$ равен $2\pi$, но коэффициент 3 в аргументе уменьшает период в 3 раза. Новый период функции:

   $$T = \frac{2\pi}{3}.$$

   Это означает, что график функции будет повторяться через каждые $\frac{2\pi}{3}$ единиц на оси $x$.

3. Сдвиг по оси $x$: выражение $3x — \frac{3\pi}{4}$ указывает на сдвиг графика функции синуса на $\frac{3\pi}{4}$ вправо. Чтобы увидеть это, перепишем уравнение в форме $3(x — \frac{\pi}{4})$, что показывает сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$ соответствуют точкам, где синус равен нулю.

Решим уравнение для синуса:

$$\sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = 0.$$

Синус равен нулю в точках $3x — \frac{3\pi}{4} = \pi n$, где $n$ — целое число.

Из этого уравнения получаем:

$$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

Решим для $x$:

$$x = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}.$$

Рассчитаем первые два нуля функции:

$$x_0 = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{3} \cdot 0 = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4},$$ $$x_1 = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}.$$

Таким образом, первые два нуля функции находятся в точках $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и $x_1 = \frac{7\pi}{12}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и $x_1 = \frac{7\pi}{12}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}.$$

Ордината середины дуги: подставим $x = \frac{5\pi}{12}$ в уравнение функции:

$$y = 2 \sin \left( 3 \cdot \frac{5\pi}{12} — \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно $y = 2$.

Шаг 4. Период функции

Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$, так как коэффициент перед $x$ равен 3.

Шаг 5. График функции

График функции будет иметь следующие характеристики:

• Функция начнется с нуля в точке $x = \frac{\pi}{4}$.
• В точке $x = \frac{5\pi}{12}$ функция достигнет максимума, равного 2.
• В точке $x = \frac{7\pi}{12}$ функция снова пересечет ось $x$.
• Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$, поэтому она будет повторяться через каждые $\frac{2\pi}{3}$ единиц на оси $x$.

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$

Шаг 1. Анализ функции $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$

Это тригонометрическая функция косинуса, но с несколькими модификациями:

1. Амплитуда: коэффициент перед косинусом равен $-3$, что означает, что график функции будет растянут по оси $y$ в 3 раза и инвертирован. То есть вместо обычного косинуса, который начинается с максимума, график начнется с минимума.
2. Период: перед $x$ стоит коэффициент 2, что влияет на период функции. Период стандартной функции косинуса $\cos(x)$ равен $2\pi$, но коэффициент 2 в аргументе уменьшает период в 2 раза. Новый период функции:

   $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi.$$

   Это означает, что график функции будет повторяться через каждые $\pi$ единиц на оси $x$.

3. Сдвиг по оси $x$: выражение $2x + \frac{\pi}{3}$ указывает на сдвиг графика функции косинуса на $-\frac{\pi}{6}$ по оси $x$. Это означает, что вся волна функции будет сдвинута влево на $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ соответствуют точкам, где косинус равен нулю.

Решим уравнение для косинуса:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Косинус равен нулю в точках $2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Из этого уравнения получаем:

$$2x = \pm \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Умножим на 2 обе стороны уравнения:

$$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Решим для $x$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}.$$

Рассчитаем первые два нуля функции:

$$x_0 = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12},$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}.$$

Таким образом, первые два нуля функции находятся в точках $x_0 = -\frac{5\pi}{12}$ и $x_1 = \frac{\pi}{12}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = -\frac{5\pi}{12}$ и $x_1 = \frac{\pi}{12}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Ордината середины дуги: подставим $x = -\frac{\pi}{6}$ в уравнение функции:

$$y = -3 \cos \left( -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = -3 \cos 0 = -3.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно $y = -3$.

Шаг 4. Период функции

Период функции равен $\pi$, так как коэффициент перед $x$ равен 2.

Шаг 5. График функции

График функции будет иметь следующие характеристики:

• Функция начнется с минимального значения $y = -3$ в точке $x = -\frac{5\pi}{12}$.
• В точке $x = -\frac{\pi}{6}$ функция достигнет максимума, равного 3.
• В точке $x = \frac{\pi}{12}$ функция снова пересечет ось $x$.
• Период функции равен $\pi$, поэтому она будет повторяться через каждые $\pi$ единиц на оси $x$.