ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=\frac{1}{2}\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6});$

б) $y=-\frac{3}{2}\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3})$

Построить график функции:

а) $y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right);$

Нули функции:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi n;$$ $$x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_0 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$ $$y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2};$$

График функции:

б) $y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right);$

Нули функции:

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x — \frac{2\pi}{3} = \pm \pi + 4\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi}{3} — \pi = \frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_1 = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{5\pi}{3};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$$ $$y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{3}{2} \cos 0 = -\frac{3}{2};$$

График функции:

Построить график функции:

а) $y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right);$

Шаг 1. Анализ функции $y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$

Это тригонометрическая функция синуса с несколькими изменениями:

1. Амплитуда: коэффициент перед синусом равен $\frac{1}{2}$, что означает, что график функции будет растянут по оси $y$ в 2 раза. Амплитуда функции равна $\frac{1}{2}$, то есть максимальное значение функции будет равно $\frac{1}{2}$, а минимальное значение $-\frac{1}{2}$.
2. Период: перед $x$ стоит коэффициент $\frac{1}{2}$, что влияет на период функции. Стандартный период функции синуса $\sin(x)$ равен $2\pi$, но умножение аргумента на $\frac{1}{2}$ увеличивает период в 2 раза. Новый период функции:

   $$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi.$$

   Это означает, что график функции будет повторяться через $4\pi$ единиц на оси $x$.

3. Сдвиг по оси $x$: выражение $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$ указывает на сдвиг графика функции синуса. Уравнение имеет вид $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$, что означает сдвиг графика функции на $-\frac{\pi}{6}$ вдоль оси $x$.

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$ соответствуют точкам, где синус равен нулю.

Решим уравнение для синуса:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0.$$

Синус равен нулю в точках $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi n$, где $n$ — целое число.

Из этого уравнения получаем:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Умножим обе стороны уравнения на 2:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Рассчитаем первые два нуля функции:

$$x_0 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3},$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$$

Таким образом, первые два нуля функции находятся в точках $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_1 = \frac{5\pi}{3}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_1 = \frac{5\pi}{3}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Ордината середины дуги: подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение функции:

$$y = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно $y = \frac{1}{2}$.

Шаг 4. Период функции

Как мы уже отметили, период функции равен $4\pi$, так как коэффициент перед $x$ равен $\frac{1}{2}$.

Шаг 5. График функции

График функции будет иметь следующие характеристики:

• Функция начнется с нуля в точке $x = -\frac{\pi}{3}$.
• В точке $x = \frac{2\pi}{3}$ функция достигнет максимума, равного $\frac{1}{2}$.
• В точке $x = \frac{5\pi}{3}$ функция снова пересечет ось $x$.
• Период функции равен $4\pi$, поэтому она будет повторяться через каждые $4\pi$ единиц на оси $x$.

б) $y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right);$

Шаг 1. Анализ функции $y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right)$

Это тригонометрическая функция косинуса с несколькими изменениями:

1. Амплитуда: коэффициент перед косинусом равен $-\frac{3}{2}$, что означает, что график функции будет растянут по оси $y$ в 1.5 раза и инвертирован. Максимальное значение функции будет равно $\frac{3}{2}$, а минимальное значение $-\frac{3}{2}$.
2. Период: перед $x$ стоит коэффициент $\frac{1}{2}$, что влияет на период функции. Стандартный период функции косинуса $\cos(x)$ равен $2\pi$, но коэффициент $\frac{1}{2}$ увеличивает период в 2 раза. Новый период функции:

   $$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi.$$

   Это означает, что график функции будет повторяться через $4\pi$ единиц на оси $x$.

3. Сдвиг по оси $x$: выражение $\frac{x}{2} — \frac{\pi}{3}$ указывает на сдвиг графика функции косинуса. Уравнение имеет вид $\frac{x}{2} — \frac{\pi}{3}$, что означает сдвиг графика функции на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси $x$.

Шаг 2. Нули функции

Нули функции $y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right)$ соответствуют точкам, где косинус равен нулю.

Решим уравнение для косинуса:

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Косинус равен нулю в точках $\frac{x}{2} — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Из этого уравнения получаем:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Умножим обе стороны уравнения на 2:

$$x = \frac{2\pi}{3} \pm \pi + 4\pi n.$$

Рассчитаем первые два нуля функции:

$$x_0 = \frac{2\pi}{3} — \pi = \frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{\pi}{3},$$ $$x_1 = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$$

Таким образом, первые два нуля функции находятся в точках $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_1 = \frac{5\pi}{3}$.

Шаг 3. Середина дуги

Середина дуги — это точка, где функция достигает максимального значения на промежутке между двумя последовательными нулями. Рассмотрим промежуток между нулями $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_1 = \frac{5\pi}{3}$.

Абсцисса середины дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Ордината середины дуги: подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение функции:

$$y = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{3}{2} \cos 0 = -\frac{3}{2}.$$

Таким образом, значение функции в середине дуги равно $y = -\frac{3}{2}$.

Шаг 4. Период функции

Как мы уже отметили, период функции равен $4\pi$, так как коэффициент перед $x$ равен $\frac{1}{2}$.

Шаг 5. График функции

График функции будет иметь следующие характеристики:

• Функция начнется с максимума $y = \frac{3}{2}$ в точке $x = -\frac{\pi}{3}$.
• В точке $x = \frac{2\pi}{3}$ функция достигнет минимума $y = -\frac{3}{2}$.
• В точке $x = \frac{5\pi}{3}$ функция снова пересечет ось $x$.
• Период функции равен $4\pi$, поэтому она будет повторяться через каждые $4\pi$ единиц на оси $x$.