ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте возможное аналитическое задание функции по её графику, изображённому:

а) на рис. 13;

б) на рис. 14.

Составить аналитическую запись функции по ее графику:

а) Рисунок 13;

На луче $(-∞; 0]$ изображена ветвь параболы:
$y = a(x + b)^2 + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = ax^2;$

График проходит через точку $(-1; 1)$, значит:
$a \cdot (-1)^2 = 1 \quad => \quad a = 1;$
$y = x^2;$

На отрезке $[0; π]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(x + b) + c;$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = a \sin x;$

Вершина лежит в точке $\left( \frac{π}{2}; \frac{1}{2} \right)$, значит:
$a = \frac{1}{2};$
$y = \frac{1}{2} \sin x;$

Ответ:

$$\begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} \sin x, & \text{если } 0 \leq x \leq π \end{cases}$$

б) Рисунок 14;

На отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(x + b) + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 1,5)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1,5;$
$y = \frac{3}{2} \cos x;$

На луче $[\frac{π}{2}; +∞)$ изображена прямая:
$y = kx + b;$

График проходит через точку $\left( \frac{π}{2}; 0 \right)$, значит:
$0 = \frac{kπ}{2} + b \quad => \quad k = 1, \quad b = -\frac{π}{2};$
$y = x — \frac{π}{2};$

Ответ:

$$\begin{cases} \frac{3}{2} \cos x, & \text{если } -\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} \\ x — \frac{π}{2}, & \text{если } x > \frac{π}{2} \end{cases}$$

а) Рисунок 13:

На луче $(-∞; 0]$ изображена ветвь параболы:

Мы знаем, что уравнение параболы имеет вид:
$y = a(x + b)^2 + c,$
где $a$, $b$ и $c$ — это параметры, определяющие форму и положение параболы. Нам нужно найти эти параметры на основе графика.

• Вершина параболы: Из условия задачи следует, что вершина параболы лежит в точке $(0; 0)$. Вершина параболы на графике указывает на значения параметров $b$ и $c$. Так как вершина находится в точке $(0; 0)$, то:
  $b = 0 \quad \text{и} \quad c = 0.$

Подставляем $b = 0$ и $c = 0$ в общее уравнение параболы:
$y = a(x + 0)^2 + 0 \quad \Rightarrow \quad y = ax^2.$

Теперь у нас есть уравнение параболы:
$y = ax^2.$

• Нахождение коэффициента $a$: График параболы проходит через точку $(-1; 1)$. Подставляем координаты этой точки $(-1; 1)$ в уравнение:
  $y = ax^2.$
  Подставляем $x = -1$ и $y = 1$:
  $1 = a(-1)^2 \quad \Rightarrow \quad 1 = a \quad \Rightarrow \quad a = 1.$

Таким образом, уравнение параболы имеет вид:
$y = x^2.$

На отрезке $[0; π]$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды можно записать в следующем виде:
$y = a \sin(x + b) + c,$
где $a$, $b$ и $c$ — это параметры, определяющие амплитуду, сдвиг по оси $x$ и сдвиг по оси $y$.

• Центр симметрии синусоиды: Согласно условию, центр симметрии синусоиды находится в точке $(0; 0)$. Это означает, что график синусоиды не имеет вертикального сдвига, и её сдвиг по оси $x$ также равен нулю:
  $b = 0, \quad c = 0.$

Подставляем $b = 0$ и $c = 0$ в уравнение синусоиды:
$y = a \sin x.$

• Нахождение коэффициента $a$: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Вершина синусоиды — это максимальное значение её функции, которое в данном случае равно $\frac{1}{2}$, и происходит в точке $\frac{\pi}{2}$. Подставляем координаты вершины $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2}\right)$ в уравнение:
  $\frac{1}{2} = a \sin \left( \frac{\pi}{2} \right).$
  Так как $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$, получаем:
  $\frac{1}{2} = a \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}.$

Таким образом, уравнение синусоиды имеет вид:
$y = \frac{1}{2} \sin x.$

Ответ для части а):

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} \sin x, & \text{если } 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$$

б) Рисунок 14:

На отрезке $[- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды имеет вид:
$y = a \cos(x + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 1,5)$. Это значит, что график синусоиды не имеет горизонтального сдвига, и её амплитуда составляет $1,5$. Подставляем данные в уравнение:
  $y = \frac{3}{2} \cos x.$

Таким образом, уравнение синусоиды на данном отрезке будет:
$y = \frac{3}{2} \cos x.$

На луче $[\frac{\pi}{2}; +∞)$ изображена прямая:

Уравнение прямой имеет вид:
$y = kx + b,$
где $k$ — угловой коэффициент прямой, а $b$ — её сдвиг по оси $y$.

• График проходит через точку $\left( \frac{\pi}{2}; 0 \right)$: Подставляем эту точку в уравнение прямой:
  $0 = k \cdot \frac{\pi}{2} + b.$
  Из этого уравнения находим параметры $k$ и $b$:
  $k \cdot \frac{\pi}{2} + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad k = 1.$

Таким образом, уравнение прямой на данном отрезке:
$y = x — \frac{\pi}{2}.$

Ответ для части б):

$$y=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}\cos x,& \text{если }-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\\ x-\frac{\pi }{2},& \text{если }x>\frac{\pi }{2}\end{array}$$