ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$

г) $y=1,5\cos (x-\frac{2\pi }{3})$

Построить график функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Переместим ее на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо;
• Растянем ее в 2 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Переместим ее на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Растянем ее в 3 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Построим дугу графика $y = \sin x$:

• Переместим ее на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;

Достроим график функции:

г) $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$

Построим дугу графика $y = \cos x$:

• Переместим ее на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо;
• Растянем ее в 1,5 раза от оси абсцисс;

Достроим график функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$

1. Исходная функция:
   Начнем с графика функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
2. Первое преобразование — сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$:
   В выражении $y = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ есть сдвиг аргумента функции на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Это значит, что весь график функции сдвигается вправо на $\frac{\pi}{3}$ единицы, и его период остаётся равным $2\pi$.
3. Второе преобразование — растяжение вдоль оси $y$ на коэффициент 2:
   При умножении функции на 2 ($y = 2 \sin x$) происходит растяжение графика вдоль оси $y$ в 2 раза. Это означает, что график теперь будет колебаться между значениями $-2$ и $2$, а период останется $2\pi$.

Ответ: Получаем график функции $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$, где синусоида сдвинута вправо на $\frac{\pi}{3}$ единицы и растянута вдоль оси $y$ в 2 раза.

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

1. Исходная функция:
   Начнем с графика функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
2. Первое преобразование — сдвиг влево на $\frac{\pi}{6}$:
   В выражении $y = \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ имеется сдвиг аргумента функции на $\frac{\pi}{6}$ влево. Это означает, что весь график функции сдвигается влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц, и его период остаётся равным $2\pi$.
3. Второе преобразование — отражение относительно оси $x$:
   При изменении функции с $y = \cos x$ на $y = -\cos x$ происходит отражение графика относительно оси $x$. Теперь максимум функции будет на уровне $-1$, а минимум на уровне $1$, а период остаётся $2\pi$.
4. Третье преобразование — растяжение вдоль оси $y$ на коэффициент 3:
   При умножении функции на $-3$ ($y = -3 \cos x$) происходит растяжение графика вдоль оси $y$ в 3 раза. Это означает, что график теперь будет колебаться между значениями $-3$ и $3$, а период останется $2\pi$.

Ответ: Получаем график функции $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$, где график сдвинут влево на $\frac{\pi}{6}$ единицы, отражён относительно оси $x$, и растянут вдоль оси $y$ в 3 раза.

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$

1. Исходная функция:
   Начнем с графика функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
2. Первое преобразование — сдвиг влево на $\frac{2\pi}{3}$:
   В выражении $y = \sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$ имеется сдвиг аргумента функции на $\frac{2\pi}{3}$ влево. Это означает, что весь график функции сдвигается влево на $\frac{2\pi}{3}$ единицы, и его период остаётся равным $2\pi$.
3. Второе преобразование — отражение относительно оси $x$:
   При изменении функции с $y = \sin x$ на $y = -\sin x$ происходит отражение графика относительно оси $x$. Теперь максимум функции будет на уровне $-1$, а минимум на уровне $1$, а период остаётся $2\pi$.

Ответ: Получаем график функции $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$, где синусоида сдвинута влево на $\frac{2\pi}{3}$ единицы и отражена относительно оси $x$.

г) $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$

1. Исходная функция:
   Начнем с графика функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.
2. Первое преобразование — сдвиг вправо на $\frac{2\pi}{3}$:
   В выражении $y = \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$ имеется сдвиг аргумента функции на $\frac{2\pi}{3}$ вправо. Это означает, что весь график функции сдвигается вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единицы, и его период остаётся равным $2\pi$.
3. Второе преобразование — растяжение вдоль оси $y$ на коэффициент 1,5:
   При умножении функции на $1,5$ ($y = 1,5 \cos x$) происходит растяжение графика вдоль оси $y$ в 1,5 раза. Это означает, что график теперь будет колебаться между значениями $-1,5$ и $1,5$, а период остаётся $2\pi$.

Ответ: Получаем график функции $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$, где график сдвинут вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единицы и растянут вдоль оси $y$ в 1,5 раза.