ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак разности:

а) $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$;

б) $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$;

в) $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$;

г) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$

Определить знак разности:

а) $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает:

$$90^\circ < 200^\circ < 201^\circ < 270^\circ;$$ $$\frac{\pi}{2} < 200^\circ < 201^\circ < \frac{3\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 200^\circ < \operatorname{tg} 201^\circ;$$

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает:

$$-\frac{\pi}{2} < 1 < 1,01 < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,01;$$

Ответ: минус.

в) $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает:

$$\frac{\pi}{2} < 2,1 < 2,2 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 2,2 > \operatorname{tg} 2,1;$$

Ответ: плюс.

г) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5};$$

Ответ: минус.

а) $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$;

Анализ функции $y = \operatorname{tg} x$:
Тангенс — это периодическая функция с периодом $\pi$. Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на каждом интервале $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right)$, где $k$ — целое число. На этих интервалах тангенс меняет значение от $-\infty$ до $+\infty$.

Область для углов $200^\circ$ и $201^\circ$:
Угол $200^\circ$ лежит в интервале $(180^\circ, 270^\circ)$, который соответствует интервалу $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ для углов в радианах. Поскольку $200^\circ < 201^\circ$, и оба угла лежат в интервале, где $y = \operatorname{tg} x$ возрастает, то:

$$\operatorname{tg}(200^\circ) < \operatorname{tg}(201^\circ)$$

Заключение:
Так как $\operatorname{tg} 200^\circ < \operatorname{tg} 201^\circ$, то разность $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$ будет отрицательной:

$$\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ < 0$$

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$;

Анализ функции $y = \operatorname{tg} x$:
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на каждом интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, где $x$ находится в пределах одного периода функции. Это свойство работает, так как на этом интервале тангенс непрерывно возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Область для углов $1$ и $1.01$:
Углы $1$ и $1.01$ в радианах лежат в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, где тангенс возрастает. Поскольку $1 < 1.01$, мы можем заключить:

$$\operatorname{tg}(1) < \operatorname{tg}(1.01)$$

Заключение:
Так как $\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1.01$, то разность $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1.01$ будет отрицательной:

$$\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1.01 < 0$$

Ответ: минус.

в) $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$;

Анализ функции $y = \operatorname{tg} x$:
Как и в предыдущих примерах, функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, то есть на интервале $(1.5708, 4.7124)$ в радианах.

Область для углов $2,1$ и $2,2$:
Углы $2,1$ и $2,2$ в радианах лежат в интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, где функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает. Поскольку $2,1 < 2,2$, мы можем заключить:

$$\operatorname{tg}(2,1) < \operatorname{tg}(2,2)$$

Заключение:
Так как $\operatorname{tg} 2,2 > \operatorname{tg} 2,1$, то разность $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$ будет положительной:

$$\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1 > 0$$

Ответ: плюс.

г) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$;

Анализ функции $y = \operatorname{tg} x$:
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, где тангенс изменяет значение от $-\infty$ до $+\infty$. Кроме того, на каждом интервале $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right)$ для целых $k$, функция тангенса будет возрастать.

Область для углов $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$:
Углы $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$ лежат в интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, где функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает. Поскольку $\frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5}$, мы можем заключить:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{5}\right) < \operatorname{tg}\left(\frac{6\pi}{5}\right)$$

Заключение:
Так как $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$, то разность $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$ будет отрицательной:

$$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5} < 0$$

Ответ: минус.

Итоговые ответы:

а) минус

б) минус

в) плюс

г) минус