ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = tgx. Докажите, что

$$f(2x+2\pi )+f(7\pi -2x)=0.$$

Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} x$, доказать равенство:

$$f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0;$$ $$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x) = 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg}(-2x) = 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} 2x = 0;$$ $$0 = 0;$$

Что и требовалось доказать.

Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} x$, нужно доказать равенство:

$$f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0;$$

1. Исходное уравнение:

Дано:

$$f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0$$

Поскольку $f(x) = \operatorname{tg} x$, то подставим это в уравнение:

$$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x) = 0$$

2. Используем свойство тангенса:

Теперь давайте упростим каждое из этих выражений.

$\operatorname{tg}(2x + 2\pi)$:

Тангенс имеет период $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(x + n\pi) = \operatorname{tg}(x)$$

где $n$ — целое число. Следовательно, используя периодичность тангенса, мы имеем:

$$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) = \operatorname{tg}(2x)$$

$\operatorname{tg}(7\pi — 2x)$:

Тангенс также является нечетной функцией, то есть:

$$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$$

Используем это свойство для выражения $\operatorname{tg}(7\pi — 2x)$:

$$\operatorname{tg}(7\pi — 2x) = \operatorname{tg}(-2x + 7\pi)$$

Здесь, используя периодичность тангенса (так как $7\pi$ — это $2\pi \times 3 + \pi$, то его влияние на тангенс сводится к сдвигу на $\pi$), мы можем записать:

$$\operatorname{tg}(7\pi — 2x) = \operatorname{tg}(\pi — 2x)$$

Теперь, применяя свойства тангенса, мы получаем:

$$\operatorname{tg}(7\pi — 2x) = -\operatorname{tg}(2x)$$

3. Подставляем полученные выражения в уравнение:

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\operatorname{tg}(2x) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x) = 0$$

Подставим $\operatorname{tg}(7\pi — 2x) = -\operatorname{tg}(2x)$:

$$\operatorname{tg}(2x) — \operatorname{tg}(2x) = 0$$

4. Решение:

Мы видим, что разность $\operatorname{tg}(2x) — \operatorname{tg}(2x)$ равна нулю:

$$0 = 0$$

5. Что требовалось доказать:

Мы доказали, что исходное уравнение верно:

$$f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0$$

Таким образом, равенство доказано.