ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$

б) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$

в) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + 1$

г) $y=\mathrm{tg}(x+\frac{\pi }{3})-2$

Построить график функции:

а) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = -\frac{\pi}{6}, \, y_0 = 1$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6};$$ $$-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3};$$

График функции:

б) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{2\pi}{3}, \, y_0 = \frac{1}{2}$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3};$$ $$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6};$$

График функции:

в) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + 1$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 1$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2};$$ $$0 < x < \pi;$$

График функции:

г) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = -\frac{\pi}{3}, \, y_0 = -2$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3};$$ $$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6};$$

График функции:

а) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Шаг 1: Общая форма функции

Рассматриваем функцию $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$. Это результат следующих преобразований:

1. Сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ влево: Сдвиг внутри аргумента функции тангенса влияет на смещение графика вправо или влево. В данном случае $+\frac{\pi}{6}$ означает, что график будет сдвинут на $\frac{\pi}{6}$ влево.
2. Сдвиг на 1 вверх: Сдвиг на 1 единицу вверх означает, что весь график будет поднят на 1 единицу, то есть, центр главной ветви будет в точке $y_0 = 1$.

Шаг 2: Анализ асимптот

Стандартная функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. В функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ асимптоты будут сдвинуты на $\frac{\pi}{6}$ влево, то есть будут располагаться в точках:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + n\pi = \frac{\pi}{3} + n\pi$$

Таким образом, первая асимптота будет находиться в точке $x = -\frac{2\pi}{3}$, а вторая в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Интервал, на котором определена функция

Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, то после сдвига она все равно будет иметь период $\pi$, но асимптоты изменят свои координаты. Интервал, на котором функция определена, будет между этими асимптотами:

$$-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Центр графика

Центр графика, где функция пересекает ось $y = 1$, будет в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}, \, y_0 = 1$.

Шаг 5: Построение графика

• График будет проходить через точку $x_0 = -\frac{\pi}{6}, \, y_0 = 1$.
• Ветви функции будут направлены от $-\infty$ к $+\infty$, но сдвинуты вверх на 1 единицу.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = -\frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

б) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ также является результатом двух трансформаций:

1. Сдвиг на $\frac{2\pi}{3}$ вправо: Это сдвиг графика тангенса на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.
2. Сдвиг на $\frac{1}{2}$ вверх: Это сдвиг всего графика на $\frac{1}{2}$ вверх, что означает, что центр графика будет в точке $y_0 = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Анализ асимптот

Как и в предыдущем случае, функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Для функции $y = \operatorname{tg}(x — \frac{2\pi}{3})$ сдвиг на $\frac{2\pi}{3}$ вправо смещает эти асимптоты на $\frac{2\pi}{3}$, то есть они будут находиться в точках:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + n\pi$$

Первая асимптота будет в точке $x = \frac{\pi}{6}$, вторая — в точке $x = \frac{7\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал, на котором определена функция

Интервал, на котором функция определена, будет между этими асимптотами:

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$$

Шаг 4: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}, \, y_0 = \frac{1}{2}$.

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекать ось $y = \frac{1}{2}$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}, \, y_0 = \frac{1}{2}$.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.
• Ветви будут направлены от $-\infty$ к $+\infty$, но сдвинуты вверх на $\frac{1}{2}$.

в) $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + 1$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = \operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + 1$ является результатом сдвига графика:

1. Сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ вправо: Сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ вправо означает, что центр графика будет в точке $x = \frac{\pi}{2}$.
2. Сдвиг на 1 вверх: Сдвиг на 1 вверх означает, что график будет сдвинут на 1 единицу вверх.

Шаг 2: Анализ асимптот

Для функции $y = \operatorname{tg}(x — \frac{\pi}{2})$, асимптоты будут смещены на $\frac{\pi}{2}$ вправо, то есть они будут находиться в точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

Первая асимптота будет в точке $x = 0$, а вторая — в точке $x = \pi$.

Шаг 3: Интервал, на котором определена функция

Интервал, на котором функция определена, будет между асимптотами:

$$0 < x < \pi$$

Шаг 4: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 1$.

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекать ось $y = 1$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 1$.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = 0$ и $x = \pi$.
• Ветви будут направлены от $-\infty$ к $+\infty$, но сдвинуты вверх на 1 единицу.

г) $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$ является результатом следующих изменений:

1. Сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево: Это сдвиг графика на $\frac{\pi}{3}$ влево.
2. Сдвиг на 2 вниз: Сдвиг на 2 вниз означает, что весь график будет опущен на 2 единицы.

Шаг 2: Анализ асимптот

Асимптоты будут сдвинуты на $\frac{\pi}{3}$ влево, так что они будут располагаться в точках:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + n\pi = \frac{\pi}{6} + n\pi$$

Первая асимптота будет в точке $x = -\frac{5\pi}{6}$, вторая — в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал, на котором определена функция

Интервал будет между этими асимптотами:

$$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}, \, y_0 = -2$.

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекать ось $y = -2$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}, \, y_0 = -2$.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.
• Ветви будут направлены от $-\infty$ к $+\infty$, но сдвинуты вниз на 2 единицы.