ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = -\operatorname{tg} x$;

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$;

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$;

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$

Построить график функции:

а) $y = -\operatorname{tg} x$;

Главная ветвь имеет центр в точке:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2};$$

График функции:

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$;

Главная ветвь имеет центр в точке:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 1;$$

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2};$$

График функции:

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$;

Главная ветвь имеет центр в точке:

$$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0;$$

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2};$$ $$0 < x < \pi;$$

График функции:

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$;

Главная ветвь имеет центр в точке:

$$x_0 = -\frac{\pi}{3}, \quad y_0 = -2;$$

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3};$$ $$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6};$$

График функции:

а) $y = -\operatorname{tg} x$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = -\operatorname{tg} x$ является результатом отражения стандартной функции $y = \operatorname{tg} x$ относительно оси $x$. Это отражение изменяет знак значений функции, но не влияет на расположение асимптот и период. Основные характеристики тангенса:

• Стандартная функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.
• Функция имеет период $\pi$, то есть график повторяется через $\pi$ единиц.

Шаг 2: Сдвиг и отражение

В данном случае мы отражаем график функции $y = \operatorname{tg} x$ относительно оси $x$, то есть изменяем знак всех значений функции. Это означает, что если раньше функция стремилась к бесконечности (положительной или отрицательной) в зависимости от положения относительно асимптот, то теперь значения будут изменены на противоположные.

Шаг 3: Анализ асимптот

Функция $y = -\operatorname{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в тех же точках, что и стандартная функция тангенса $y = \operatorname{tg} x$, то есть:

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

Первая асимптота будет на $x = \frac{\pi}{2}$, вторая на $x = \frac{3\pi}{2}$ и так далее. Эти точки не изменяются при отражении, так как отражение не сдвигает график по оси $x$.

Шаг 4: Центр графика

Центр графика функции $y = -\operatorname{tg} x$ будет в точке $x_0 = 0, \, y_0 = 0$, так как функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет центр в точке $(0, 0)$, а отражение не меняет положение центра.

Шаг 5: Интервал, на котором функция определена

Тангенс определен на интервале между вертикальными асимптотами:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Это основной интервал, на котором функция $y = -\operatorname{tg} x$ будет существовать, так как за пределами этих значений функция стремится к бесконечности.

Шаг 6: Построение графика

• График будет симметричен относительно оси $x$, и будет идти от $-\infty$ к $+\infty$ с учётом отражения.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = \pm \frac{\pi}{2}$.

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = -\operatorname{tg} x + 1$ является сдвигом функции $y = -\operatorname{tg} x$ на 1 единицу вверх. Это означает, что весь график будет поднят на 1 единицу, но основные характеристики, такие как отражение относительно оси $x$ и расположение асимптот, не изменятся.

Шаг 2: Сдвиг вверх

Сдвиг на 1 единицу вверх сдвигает центр графика с $y_0 = 0$ на $y_0 = 1$. Это означает, что точка, в которой график пересекает ось $y$, будет на $y = 1$, а не на $y = 0$.

Шаг 3: Анализ асимптот

Асимптоты не изменяются при сдвиге вверх, они будут оставаться в тех же точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

Это означает, что асимптоты будут находиться в точках $x = \pm \frac{\pi}{2}$ для первой ветви, $x = \pm \frac{3\pi}{2}$ для второй и так далее.

Шаг 4: Центр графика

Центр графика теперь будет в точке $x_0 = 0, \, y_0 = 1$, так как мы сдвинули график на 1 единицу вверх.

Шаг 5: Интервал, на котором функция определена

Интервал, на котором функция определена, останется прежним:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 6: Построение графика

• График будет сдвинут вверх на 1 единицу по сравнению с $y = -\operatorname{tg} x$.
• Асимптоты будут оставаться в тех же точках, но все значения графика будут на 1 единицу выше.

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$ является сдвигом графика функции $y = -\operatorname{tg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ единицы вправо. Это означает, что все асимптоты, центры графиков и значения функции будут смещены вправо на $\frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Сдвиг вправо

Сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ вправо означает, что асимптоты и центр графика будут смещены на $\frac{\pi}{2}$. Если для функции $y = -\operatorname{tg} x$ асимптоты были в точках $\pm \frac{\pi}{2}$, то для $y = -\operatorname{tg}(x — \frac{\pi}{2})$ асимптоты будут в точках:

$$x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$$

Шаг 3: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 0$, так как сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ вправо сдвигает центр графика.

Шаг 4: Интервал, на котором функция определена

Интервал, на котором функция определена, будет:

$$0 < x < \pi$$

Шаг 5: Построение графика

• График будет смещен на $\frac{\pi}{2}$ вправо, то есть, асимптоты будут в точках $0$ и $\pi$.
• Центр графика будет в точке $\frac{\pi}{2}, 0$.

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$

Шаг 1: Общая форма функции

Функция $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$ является результатом двух трансформаций:

1. Сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево — это сдвигает график на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево.
2. Сдвиг на 2 единицы вниз — это сдвигает весь график вниз на 2 единицы.

Шаг 2: Сдвиг влево и вниз

Сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево сдвигает асимптоты и центр графика на $\frac{\pi}{3}$ влево. Центр графика будет в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}, \, y_0 = -2$. Также сдвиг вниз на 2 единицы изменяет значение $y$ в каждой точке.

Шаг 3: Анализ асимптот

Асимптоты сдвигаются влево на $\frac{\pi}{3}$, то есть они будут расположены в точках:

$$x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \dots$$

Шаг 4: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}, \, y_0 = -2$, так как мы сдвинули график влево и вниз.

Шаг 5: Интервал, на котором функция определена

Интервал будет между асимптотами:

$$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$$

Шаг 6: Построение графика

• График будет сдвинут влево и вниз.
• Асимптоты будут в точках $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.