ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tgx на заданном промежутке:

а) На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$;

б) На полуинтервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$;

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$;

г) На полуинтервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{tg} x$:

а) На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.

б) На полуинтервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1$;

$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1; \, y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) На полуинтервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \frac{3\pi}{2}$;

$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.

Функция $\operatorname{tg} x$ или $\tan(x)$ является тригонометрической функцией, которая имеет период $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x).$$

Она имеет разрывы в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Эти разрывы происходят в точках вертикальных асимптот.

Для анализа функции на различных интервалах важно учитывать, где расположены такие разрывы и что происходит с функцией в окрестности этих точек.

а) На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$

Разрывы функции: функция $\operatorname{tg} x$ имеет разрывы в точках, где косинус равен нулю (то есть где $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$). На данном интервале разрыв происходит в точках:

• $x = \frac{\pi}{2}$, где $\operatorname{tg} x$ стремится к бесконечности.
• $x = \frac{3\pi}{2}$, где $\operatorname{tg} x$ также стремится к бесконечности.

Поведение функции:

• При $x \to \frac{\pi}{2}^+$ (то есть с правой стороны) $\operatorname{tg} x \to +\infty$.
• При $x \to \frac{\pi}{2}^-$ (то есть с левой стороны) $\operatorname{tg} x \to -\infty$.
• При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$ $\operatorname{tg} x \to -\infty$.
• При $x \to \frac{3\pi}{2}^+$ $\operatorname{tg} x \to +\infty$.

Заключение: Функция $\operatorname{tg} x$ не имеет наименьших и наибольших значений на данном интервале, поскольку она стремится к бесконечности в обе стороны.

Ответ: $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.

б) На полуинтервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$

Разрывы функции: На данном интервале разрывов функции нет, так как $\cos x \neq 0$ на всем интервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$.

Поведение функции:

• При $x = \pi$, значение функции:

  $$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = 0.$$

• Функция $\operatorname{tg} x$ в интервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right)$ возрастает от значения $-1$ в точке $x = \frac{3\pi}{4}$ до $0$ в точке $x = \pi$, поскольку в этой области $\operatorname{tg} x$ имеет положительное значение и плавно растет, приближаясь к нулю.

Заключение:

• Наименьшее значение функции на данном интервале не существует, поскольку $\operatorname{tg} x$ имеет значения, стремящиеся к бесконечности в пределах интервала, но ограниченные значениями от $-1$ до $0$.
• Наибольшее значение функции на интервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$ достигается в точке $x = \pi$ и равно 0.

Ответ: $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$

Разрывы функции: На этом отрезке разрывов функции нет, так как $\cos x \neq 0$ на всем отрезке.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При $x = -\frac{\pi}{4}$, находим:

  $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1.$$

• При $x = \frac{\pi}{6}$, находим:

  $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Поведение функции:

• Функция $\operatorname{tg} x$ на интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$ плавно возрастает от $-1$ в точке $x = -\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\sqrt{3}}{3}$ в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Заключение:

• Наименьшее значение функции на этом отрезке — $-1$, которое достигается в точке $x = -\frac{\pi}{4}$.
• Наибольшее значение функции — $\frac{\sqrt{3}}{3}$, которое достигается в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1; \, y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) На полуинтервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

Разрывы функции: Функция имеет разрыв в точке $x = \frac{3\pi}{2}$, так как $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$, и функция стремится к бесконечности в этой точке.

Вычислим значение функции в точке $x = \pi$:

$$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = 0.$$

Поведение функции:

• На интервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция $\operatorname{tg} x$ увеличивается от 0 в точке $x = \pi$ до $+\infty$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

Заключение:

• Наименьшее значение функции на этом полуинтервале — $0$, которое достигается в точке $x = \pi$.
• Наибольшее значение функции на этом полуинтервале не существует, так как функция стремится к бесконечности в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.

б) $y_{\text{наим}} — \text{нет}; \, y_{\text{наиб}} = 0$.

в) $y_{\text{наим}} = -1; \, y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}$.