ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

б) $y = \operatorname{ctg} x + 1;$

в) $y = \operatorname{ctg}\left(x — \frac{\pi}{3}\right);$

г) $y=\mathrm{ctg}x-2$$$

Построить график функции:

а) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0, \quad y_0 = 0;$

Ветвь лежит на интервале:
$0 — \frac{\pi}{2} < x < \pi — \frac{\pi}{2};$
$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2};$

График функции:

б) $y = \operatorname{ctg} x + 1;$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0 + 1 = 1;$

Ветвь лежит на интервале:
$0 < x < \pi;$

График функции:

в) $y = \operatorname{ctg}\left(x — \frac{\pi}{3}\right);$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}, \quad y_0 = 0;$

Ветвь лежит на интервале:
$0 + \frac{\pi}{3} < x < \pi + \frac{\pi}{3};$
$\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3};$

График функции:

г) $y = \operatorname{ctg} x — 2;$

Главная ветвь имеет центр в точке:
$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0 — 2 = -2;$

Ветвь лежит на интервале:
$0 < x < \pi;$

График функции:

Общие свойства функции котангенса:

1. Основная форма: Функция котангенса $y = \operatorname{ctg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число.
2. Период: Период функции котангенса равен $\pi$, то есть график повторяется каждые $\pi$ единиц по оси $x$.
3. Центр: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет центр в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 0$, где значение функции равно 0.

а) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Шаг 1: Понимание сдвига

Функция $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ — это сдвиг графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ влево. Это сдвигает все асимптоты, нули и центры графика влево.

Шаг 2: Анализ асимптот

Основные асимптоты для функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число. Для функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$, сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ влево переносит асимптоты в точки:

$$x = -\frac{\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3\pi}{2}, \dots$$

Таким образом, первая асимптота будет в точке $x = -\frac{\pi}{2}$, вторая в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и так далее.

Шаг 3: Центр графика

Центр графика, где $y = 0$, будет в точке $x_0 = 0, \, y_0 = 0$, так как сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ влево перемещает центр на точку $x_0 = 0$.

Шаг 4: Интервал, на котором функция определена

Тангенс (и, соответственно, котангенс) имеет вертикальные асимптоты на интервалах вида $(n\pi, (n+1)\pi)$. Для функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ первый интервал, на котором функция определена, будет:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 5: Построение графика

• График функции будет иметь асимптоты в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
• График будет пересекаться с осью $y = 0$ в точке $x = 0$, где будет центр.
• Функция будет стремиться к $+\infty$ слева от $x = 0$ и к $-\infty$ справа от $x = 0$.

б) $y = \operatorname{ctg} x + 1$

Шаг 1: Сдвиг графика вверх

В данном случае функция $y = \operatorname{ctg} x + 1$ представляет собой сдвиг стандартного графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх. Это изменение влияет только на значение функции, но не на её асимптоты и период.

Шаг 2: Анализ асимптот

Асимптоты для функции $y = \operatorname{ctg} x$ остаются на тех же местах:

$$x = n\pi, \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, асимптоты будут в точках $x = 0, \pi, 2\pi, \dots$.

Шаг 3: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = 1$, так как весь график сдвигается вверх на 1 единицу.

Шаг 4: Интервал, на котором функция определена

Интервал, на котором функция определена, будет таким же, как и для функции $y = \operatorname{ctg} x$:

$$0 < x < \pi$$

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекаться с осью $y = 1$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
• Асимптоты будут в точках $x = 0$ и $x = \pi$.
• График будет стремиться к $+\infty$ слева от $x = \frac{\pi}{2}$ и к $-\infty$ справа от $x = \frac{\pi}{2}$.

в) $y = \operatorname{ctg}\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$

Шаг 1: Сдвиг вправо

Функция $y = \operatorname{ctg}\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$ представляет собой сдвиг графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо. Это изменение смещает асимптоты и центр графика вправо.

Шаг 2: Анализ асимптот

Асимптоты для функции $y = \operatorname{ctg} x$ будут сдвинуты на $\frac{\pi}{3}$ вправо, то есть они будут находиться в точках:

$$x = \frac{\pi}{3}, \quad \pi + \frac{\pi}{3}, \quad 2\pi + \frac{\pi}{3}, \dots$$

Шаг 3: Центр графика

Центр графика будет в точке $x_0 = \frac{5\pi}{6}, \, y_0 = 0$, так как мы сдвинули график на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Шаг 4: Интервал, на котором функция определена

Интервал будет:

$$\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$$

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекаться с осью $y = 0$ в точке $x_0 = \frac{5\pi}{6}$.
• Асимптоты будут находиться в точках $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$.
• Функция будет стремиться к $+\infty$ слева от $x = \frac{5\pi}{6}$ и к $-\infty$ справа от $x = \frac{5\pi}{6}$.

г) $y = \operatorname{ctg} x — 2$

Шаг 1: Сдвиг вниз

Функция $y = \operatorname{ctg} x — 2$ представляет собой сдвиг графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 2 единицы вниз. Это сдвигает весь график вниз, но не меняет асимптоты и период.

Шаг 2: Анализ асимптот

Асимптоты для функции $y = \operatorname{ctg} x$ будут располагаться в тех же точках:

$$x = n\pi, \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Центр графика

Центр графика будет сдвинут на 2 единицы вниз, то есть в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}, \, y_0 = -2$.

Шаг 4: Интервал, на котором функция определена

Интервал будет таким же, как и для функции $y = \operatorname{ctg} x$:

$$0 < x < \pi$$

Шаг 5: Построение графика

• График будет пересекаться с осью $y = -2$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
• Асимптоты будут в точках $x = 0$ и $x = \pi$.
• График будет стремиться к $+\infty$ слева от $x = \frac{\pi}{2}$ и к $-\infty$ справа от $x = \frac{\pi}{2}$.