ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\operatorname{ctg} \, x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} \, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

в) $\operatorname{ctg} \, x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $\operatorname{ctg} \, x = 0$

Решить графически уравнение:

а) $\operatorname{ctg} \, x = 1$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} \, x$ и $y = 1$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{\pi}{4}$;

Расстояние между соседними точками равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} \, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} \, x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{\pi}{3}$;

Расстояние между соседними точками равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} \, x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} \, x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{2\pi}{3}$;

Расстояние между соседними точками равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} \, x = 0$;

Построим график функции $y = \operatorname{ctg} \, x$:

График пересекает ось абсцисс в точке: $x = \frac{\pi}{2}$;

Расстояние между соседними точками равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) $\operatorname{ctg} \, x = 1$

Запишем уравнение:

$$\operatorname{ctg} \, x = 1$$

Котангенс функции $\operatorname{ctg} x$ является отношением косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Таким образом, уравнение $\operatorname{ctg} \, x = 1$ можно переписать как:

$$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$$

Это равенство выполняется, когда $\cos x = \sin x$.

Решение уравнения $\cos x = \sin x$:
Для решения уравнения $\cos x = \sin x$, можно воспользоваться тем, что:

$$\cos x = \sin x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как период функции $\operatorname{ctg} x$ равен $\pi$.

Графический подход:
Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$. График функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это периодическая кривая с вертикальными асимптотами в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число, и с периодом $\pi$. График функции $y = 1$ — это горизонтальная прямая, пересекающая ось $y = 1$.

Пересечение графиков:
Графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$ пересекаются в точках, где $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Таким образом, решение уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} \, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Запишем уравнение:

$$\operatorname{ctg} \, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Аналогично предыдущему шагу, у нас есть уравнение:

$$\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Решение уравнения:
Это уравнение выполняется, когда:

$$\tan x = \sqrt{3}$$

Зная, что $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, получаем:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Графический подход:
Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$. График функции $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = n\pi$. Прямая $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ пересечет график функции $y = \operatorname{ctg} x$ в точках $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} \, x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Запишем уравнение:

$$\operatorname{ctg} \, x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Это уравнение выполняется, когда:

$$\tan x = -\sqrt{3}$$

Зная, что $\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$, получаем:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

Графический подход:
Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. График функции $y = \operatorname{ctg} x$ будет пересекаться с горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ в точке $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} \, x = 0$

Запишем уравнение:

$$\operatorname{ctg} \, x = 0$$

Это уравнение выполняется, когда:

$$\frac{\cos x}{\sin x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = 0$$

Решение уравнения:
Значение $\cos x = 0$ происходит в точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Графический подход:
Построим график функции $y = \operatorname{ctg} x$, который будет пересекать ось абсцисс в точках, где $\cos x = 0$, а именно в точке $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

б) $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

в) $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

г) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$