ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию f(x) на чётность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$;

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$;

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$;

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) — \cos(-x) = -\operatorname{tg} x — \cos x;$$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$;

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x) = -\operatorname{tg} x — x = -f(x);$$

Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$;

Область определения функции:

$$x \neq \pi n;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) — (-x)^4 = \operatorname{ctg}^2 x — x^4 = f(x);$$

Ответ: четная.

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$;

Область определения функции:

$$x \neq \pi n;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = (-x)^3 — \operatorname{ctg}(-x) = -x^3 + \operatorname{ctg} x = -f(x);$$

Ответ: нечетная.

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$

Область определения функции:
Функция $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$ состоит из двух частей: тангенса и косинуса.

• Тангенс функции $\operatorname{tg} x$ имеет разрывы в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число, так как тангенс не определен, когда $\cos x = 0$.
• Косинус же определен для всех значений $x$, поскольку это элементарная функция.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Проверка симметричности функции:
Рассмотрим $f(-x)$ — это значение функции при замене $x$ на $-x$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) — \cos(-x)$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.
• $\cos(-x) = \cos x$, так как косинус — четная функция.

Подставим эти значения:

$$f(-x) = -\operatorname{tg} x — \cos x$$

Таким образом:

$$f(-x) = -\left(\operatorname{tg} x — \cos x \right) = -f(x)$$

Это означает, что функция $f(x)$ является нечетной, так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$.

Ответ:
$f(x)$ — ни четная, ни нечетная, так как для того, чтобы функция была четной или нечетной, необходимо, чтобы выполнялось одно из условий: $f(-x) = f(x)$ для четности или $f(-x) = -f(x)$ для нечетности. В данном случае, мы можем сделать вывод, что $f(x)$ не является четной или нечетной функцией.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$

Область определения функции:

• Тангенс $\operatorname{tg} x$ не определен в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, так как тангенс не существует, когда $\cos x = 0$.
• Член $x$ — это обычная линейная функция, которая определена для всех $x$.

Таким образом, область определения функции $f(x) = \operatorname{tg} x + x$ будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Проверка симметричности функции:
Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.
• $(-x) = -x$, так как $x$ — линейная функция.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = -\operatorname{tg} x — x = -(\operatorname{tg} x + x) = -f(x)$$

Это означает, что функция $f(x) = \operatorname{tg} x + x$ является нечетной функцией.

Ответ:
$f(x)$ — нечетная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$

Область определения функции:

• $\operatorname{ctg}^2 x$ — это квадрат котангенса, который не определен в точках $x = \pi n$, так как котангенс не существует, когда $\sin x = 0$.
• $x^4$ — это обычная функция, которая определена для всех $x$.

Таким образом, область определения функции $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$ будет:

$$x \neq \pi n$$

Проверка симметричности функции:
Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) — (-x)^4$$

• $\operatorname{ctg}(-x) = \operatorname{ctg} x$, так как котангенс — четная функция.
• $(-x)^4 = x^4$, так как возведение в четную степень оставляет значение положительным.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4 = f(x)$$

Это означает, что функция $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$ является четной функцией.

Ответ:
$f(x)$ — четная.

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$

Область определения функции:

• $x^3$ — это обычная линейная функция, определенная для всех $x$.
• $\operatorname{ctg} x$ — это котангенс, который не определен в точках $x = \pi n$, так как котангенс не существует, когда $\sin x = 0$.

Таким образом, область определения функции $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$ будет:

$$x \neq \pi n$$

Проверка симметричности функции:
Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^3 — \operatorname{ctg}(-x)$$

• $(-x)^3 = -x^3$, так как возведение в нечетную степень сохраняет знак.
• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, так как котангенс — нечетная функция.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = -x^3 + \operatorname{ctg} x = -\left(x^3 — \operatorname{ctg} x\right) = -f(x)$$

Это означает, что функция $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$ является нечетной функцией.

Ответ:
$f(x)$ — нечетная.

Итоговые ответы:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$ — ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$ — нечетная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$ — четная.

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$ — нечетная.