ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию f(x) на чётность:

а) $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$;

б) $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}$$$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$;

Область определения функции:

$$x\mathrm{\ne }\pi n;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x)=\sin (-x)+\mathrm{ctg}(-x)=-\sin x-\mathrm{ctg}x=-f(x);$$

Ответ: нечетная.

б) $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4};$

Область определения функции:

$$x\mathrm{\ne }\pi n,x\mathrm{\ne }\pm 2;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^4\cdot \mathrm{ctg}(-x)}{(-x{)}^2-4}=\frac{x^4\cdot (-\mathrm{ctg}x)}{x^2-4}=-f(x);$$

Ответ: нечетная.

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$

Область определения функции:

Рассмотрим составные части функции $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$:

• $\sin x$ — это стандартная тригонометрическая функция, которая определена для всех значений $x$.
• $\mathrm{ctg}x$ — котангенс, который имеет разрывы в точках, где $\sin x=0$, а именно в точках $x=\pi n$, где $n$ — целое число.

Следовательно, область определения функции $f(x)$ будет:

$$x\mathrm{\ne }\pi n$$

где $n$ — целое число, так как котангенс не определен в этих точках.

Область определения симметрична:

Функция $\sin x$ является четной функцией, то есть $\sin (-x)=-\sin x$. Функция $\mathrm{ctg}x$ является нечетной функцией, то есть $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$. Обе эти функции имеют период $\pi$, а значит, область их определения симметрична относительно нуля.

Проверка четности:

Для того чтобы функция была нечетной, нужно проверить, выполняется ли условие $f(-x)=-f(x)$. Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x)=\sin (-x)+\mathrm{ctg}(-x)$$

Так как:

• $\sin (-x)=-\sin x$, так как синус — нечетная функция.
• $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$, так как котангенс — нечетная функция.

Подставляем это в $f(-x)$:

$$f(-x)=-\sin x-\mathrm{ctg}x=-(\sin x+\mathrm{ctg}x)=-f(x)$$

Это означает, что функция $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$ является нечетной функцией, так как выполняется условие $f(-x)=-f(x)$.

Ответ:
$f(x)$ — нечетная.

б) $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}$

Область определения функции:

Рассмотрим составные части функции $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}$:

• $x^4$ — это стандартная степенная функция, которая определена для всех значений $x$.
• $\mathrm{ctg}x$ — котангенс, который не определен в точках $x=\pi n$, где $n$ — целое число.
• Знаменатель $x^2-4=(x-2)(x+2)$, который равен нулю в точках $x=2$ и $x=-2$, поэтому функция не определена в этих точках.

Следовательно, область определения функции $f(x)$ будет:

$$x\mathrm{\ne }\pi n,x\mathrm{\ne }\pm 2$$

где $n$ — целое число.

Область определения симметрична:

Функция $x^4$ симметрична относительно нуля, так как $(-x{)}^4=x^4$. Функция $\mathrm{ctg}x$ также симметрична относительно нуля, так как $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$. Знаменатель $x^2-4$ симметричен относительно нуля, так как $(-x{)}^2=x^2$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ симметрична относительно нуля.

Проверка четности:

Для того чтобы функция была нечетной, нужно проверить, выполняется ли условие $f(-x)=-f(x)$. Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^4\cdot \mathrm{ctg}(-x)}{(-x{)}^2-4}$$

Так как:

• $(-x{)}^4=x^4$, так как степень 4 — четная.
• $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$, так как котангенс — нечетная функция.
• $(-x{)}^2=x^2$, так как возведение в квадрат дает положительное значение.

Подставляем эти выражения в $f(-x)$:

$$f(-x)=\frac{x^4\cdot (-\mathrm{ctg}x)}{x^2-4}=-\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}=-f(x)$$

Это означает, что функция $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}$ является нечетной, так как выполняется условие $f(-x)=-f(x)$.

Ответ:
$f(x)$ — нечетная.

Итоговые ответы:

а) $f(x)=\sin x+\mathrm{ctg}x$ — нечетная.

б) $f(x)=\frac{x^4\cdot \mathrm{ctg}x}{x^2-4}$ — нечетная.