ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\arccos \sqrt{5}$;

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$;

г) $\arccos (-\sqrt{3})$

Выяснить имеет ли смысл выражение:

а) $\arccos \sqrt{5}$;
$5 > 1$;
$\sqrt{5} > 1$;
Ответ: нет.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;
$0 < \frac{2}{3} < 1$;
$0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$;
Ответ: да.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$;
$3 < \pi < 4$;
$0,6 < \frac{\pi}{5} < 0,8$;
Ответ: да.

г) $\arccos (-\sqrt{3})$;
$3 > 1$;
$\sqrt{3} > 1$;
$-\sqrt{3} < -1$;
Ответ: нет.

а) $\arccos \sqrt{5}$

Область определения арккосинуса: выражение $\arccos z$ имеет смысл, если $z \in [-1, 1]$, то есть внутри арккосинуса должно быть число в интервале от $-1$ до $1$.

Мы рассматриваем $\arccos \sqrt{5}$.

Мы знаем, что $\sqrt{5} \approx 2.236$, и это число явно больше 1.

Поскольку $\sqrt{5} > 1$, то $\arccos \sqrt{5}$ не имеет смысла, так как значение внутри арккосинуса выходит за пределы допустимого интервала $[-1, 1]$.

Ответ: Нет, выражение не имеет смысла.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$

Область определения арккосинуса: как и раньше, выражение $\arccos z$ имеет смысл, если $z \in [-1, 1]$.

Мы рассматриваем $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Для начала найдем значение $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Известно, что $\frac{2}{3} \approx 0.6667$, и:

$$\sqrt{\frac{2}{3}} \approx \sqrt{0.6667} \approx 0.8165$$

Полученное значение $\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165$ лежит в интервале $[0, 1]$.

Поскольку $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$, то $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$ имеет смысл, так как значение внутри арккосинуса находится в допустимом интервале.

Ответ: Да, выражение имеет смысл.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$

Область определения арккосинуса: выражение $\arccos z$ имеет смысл, если $z \in [-1, 1]$.

Мы рассматриваем $\arccos \frac{\pi}{5}$.

Приблизительное значение числа $\pi$ равно $3.1416$, тогда:

$$\frac{\pi}{5} = \frac{3.1416}{5} \approx 0.6283$$

Полученное значение $\frac{\pi}{5} \approx 0.6283$ лежит в интервале $[0, 1]$, так как $0.6283$ больше 0, но меньше 1.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{5} < 1$, то $\arccos \frac{\pi}{5}$ имеет смысл, так как значение внутри арккосинуса находится в допустимом интервале.

Ответ: Да, выражение имеет смысл.

г) $\arccos (-\sqrt{3})$

Область определения арккосинуса: выражение $\arccos z$ имеет смысл, если $z \in [-1, 1]$.

Мы рассматриваем $\arccos (-\sqrt{3})$.

Для начала найдем значение $-\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому:

$$-\sqrt{3} \approx -1.732$$

Полученное значение $-\sqrt{3} \approx -1.732$ меньше $-1$.

Поскольку $-\sqrt{3} < -1$, это значение выходит за пределы допустимого интервала для арккосинуса $[-1, 1]$.

Ответ: Нет, выражение не имеет смысла.

Итоговые ответы:

а) Нет, выражение не имеет смысла.

б) Да, выражение имеет смысл.

в) Да, выражение имеет смысл.

г) Нет, выражение не имеет смысла.