ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}=1\mathrm{}$

б) $\frac{3\cos t+1}{2}+\frac{5\cos t-1}{3}=1,75\mathrm{}$

Решить уравнение:

а) $\frac{8 \cos t — 3}{3 \cos t + 2} = 1 \quad | \cdot (3 \cos t + 2)$;

$8 \cos t — 3 = 3 \cos t + 2$;

$5 \cos t = 5$;

$\cos t = 1$;

$t = 2\pi n$;

Ответ: $2\pi n$.

б) $\frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t — 1}{3} = 1,75 \quad | \cdot 12$;

$6(3 \cos t + 1) + 4(5 \cos t — 1) = 1,75 \cdot 12$;

$18 \cos t + 6 + 20 \cos t — 4 = 21$;

$38 \cos t = 19$;

$\cos t = \frac{1}{2}$;

$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а) Уравнение: $\frac{8 \cos t — 3}{3 \cos t + 2} = 1$

Первоначальное уравнение:

$$\frac{8 \cos t — 3}{3 \cos t + 2} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $3 \cos t + 2$, чтобы избавиться от дроби:

$$(3 \cos t + 2) \cdot \frac{8 \cos t — 3}{3 \cos t + 2} = 1 \cdot (3 \cos t + 2)$$

Получаем:

$$8 \cos t — 3 = 3 \cos t + 2$$

Переносим все слагаемые, содержащие $\cos t$, на одну сторону уравнения, а константы на другую:

$$8 \cos t — 3 \cos t = 2 + 3$$

Упростим:

$$5 \cos t = 5$$

Решаем относительно $\cos t$:

$$\cos t = \frac{5}{5} = 1$$

Решаем для $t$:
Косинус равен 1 при значении угла $t = 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как косинус имеет период $2\pi$.

Ответ:

$$t = 2\pi n$$

б) Уравнение: $\frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t — 1}{3} = 1,75$

Первоначальное уравнение:

$$\frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t — 1}{3} = 1,75$$

Умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от дробей:

$$12 \cdot \left( \frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t — 1}{3} \right) = 12 \cdot 1,75$$

Получаем:

$$6(3 \cos t + 1) + 4(5 \cos t — 1) = 21$$

Раскроем скобки:

$$6(3 \cos t + 1) = 18 \cos t + 6$$ $$4(5 \cos t — 1) = 20 \cos t — 4$$

Подставляем в уравнение:

$$18 \cos t + 6 + 20 \cos t — 4 = 21$$

Упростим:

$$(18 \cos t + 20 \cos t) + (6 — 4) = 21$$ $$38 \cos t + 2 = 21$$

Переносим константы на другую сторону:

$$38 \cos t = 21 — 2$$ $$38 \cos t = 19$$

Решаем для $\cos t$:

$$\cos t = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$$

Решаем для $t$:
Косинус равен $\frac{1}{2}$ при значениях угла $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как косинус имеет период $2\pi$.

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $t = 2\pi n$

б) $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$