ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $6 \cos^2 t + 5 \cos t + 1 = 0$;

б) $3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t$

Решить уравнение:

а) $6 \cos^2 t + 5 \cos t + 1 = 0$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$6y^2 + 5y + 1 = 0;$

Дискриминант:
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,$
тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2};$
$y_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3};$

Первое значение:
$\cos t = -\frac{1}{2};$
$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Второе значение:
$\cos t = -\frac{1}{3};$
$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n;$

Ответ:$$$\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n.$

б) $3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t$;

Используя тригонометрическую идентичность $\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$:
$3 + 9 \cos t = 5 (1 — \cos^2 t);$
$3 + 9 \cos t = 5 — 5 \cos^2 t;$
$5 \cos^2 t + 9 \cos t — 2 = 0;$

Пусть $y = \cos t$, тогда:
$5y^2 + 9y — 2 = 0;$

Дискриминант:
$D = 9^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 81 + 40 = 121,$
тогда:
$y_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2;$
$y_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$

Первое значение:
$\cos x = -2 < -1;$
$x \in \varnothing;$

Второе значение:
$\cos x = \frac{1}{5};$
$x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n;$

Ответ:$$$\pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n.$

а) $6 \cos^2 t + 5 \cos t + 1 = 0$

Представление уравнения в виде квадратного уравнения:
Пусть $y = \cos t$, тогда уравнение можно записать как квадратное:

$$6y^2 + 5y + 1 = 0$$

Теперь это обычное квадратное уравнение относительно $y$.

Нахождение дискриминанта:
Для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения из уравнения $6y^2 + 5y + 1 = 0$, где $a = 6$, $b = 5$, и $c = 1$:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1$$

Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных корня.

Нахождение корней уравнения:
Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 — 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Нахождение значений $t$:
Теперь у нас есть два значения для $y = \cos t$.

• Для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

  $$\cos t = -\frac{1}{2}$$

  Косинус равен $-\frac{1}{2}$ для углов $t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$.
  Известно, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, следовательно:

  $$t = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

• Для $y_2 = -\frac{1}{3}$:

  $$\cos t = -\frac{1}{3}$$

  В данном случае, $t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n$, где $\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$ — это арккосинус значения $-\frac{1}{3}$.

Ответ:
Решения для $t$:

$$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n$$

б) $3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t$

Используем тригонометрическую идентичность:
Для упрощения уравнения используем идентичность $\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$. Подставим это в исходное уравнение:

$$3 + 9 \cos t = 5(1 — \cos^2 t)$$

Раскроем скобки:

$$3 + 9 \cos t = 5 — 5 \cos^2 t$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$5 \cos^2 t + 9 \cos t — 2 = 0$$

Представляем уравнение в виде квадратного:
Пусть $y = \cos t$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$5y^2 + 9y — 2 = 0$$

Нахождение дискриминанта:
Для вычисления дискриминанта используем формулу $D = b^2 — 4ac$. Подставляем значения $a = 5$, $b = 9$, $c = -2$:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$$

Дискриминант положительный, значит, у нас два различных корня.

Нахождение корней уравнения:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-9 — \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 — 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$ $$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

Анализ корней:

• Для $y_1 = -2$: Значение $\cos t = -2$ невозможно, так как $\cos t$ не может быть меньше $-1$. Следовательно, это решение не подходит.
• Для $y_2 = \frac{1}{5}$:

  $$\cos t = \frac{1}{5}$$

  Косинус равен $\frac{1}{5}$ при значениях $t = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:
Решения для $t$:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n$

б) $t = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n$