ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in (1; 6)$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in (2; 10)$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$

г) $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2},x\in (-4;\frac{5\pi }{4})$

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in (1; 6)$

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{3}; \, \frac{5\pi}{3}}$$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in (2; 10)$

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$$ $$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$$ $$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{8\pi}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3}; \, \frac{4\pi}{3}; \, \frac{8\pi}{3}}$$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$ $$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4}; \, \frac{7\pi}{4}; \, \frac{9\pi}{4}; \, \frac{15\pi}{4}}$$

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$ $$x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4}$$ $$x_3 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{5\pi}{4}; \, -\frac{3\pi}{4}; \, \frac{3\pi}{4}}$$

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in (1; 6)$

Шаг 1: Решение уравнения

Мы имеем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$, и нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению на интервале $(1; 6)$.

Для того чтобы решить уравнение, вспомним, что косинус принимает значение $\frac{1}{2}$ для углов:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $(1; 6)$

Теперь найдем все решения на интервале $(1; 6)$.

Для $n = 0$ подставляем в решение:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$$

Это значение лежит в интервале $(1; 6)$.

Для $n = 0$ также:

$$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \approx -1.047 + 6.283 \approx 5.236$$

Это значение также лежит в интервале $(1; 6)$.

Ответ:

Значения $x$ на интервале $(1; 6)$:

$$\boxed{\frac{\pi}{3}; \, \frac{5\pi}{3}}$$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in (2; 10)$

Шаг 1: Решение уравнения

Для уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ найдём общее решение:

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ для углов вида:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Поскольку $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $(2; 10)$

Теперь находим значения $x$ на интервале $(2; 10)$:

Для $n = 0$:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$

Это значение лежит в интервале $(2; 10)$.

Для $n = 0$:

$$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.377$$

Это значение также лежит в интервале $(2; 10)$.

Для $n = 1$:

$$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.377$$

Это значение также лежит в интервале $(2; 10)$.

Ответ:

Значения $x$ на интервале $(2; 10)$:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3}; \, \frac{4\pi}{3}; \, \frac{8\pi}{3}}$$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решение:

Косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов вида:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, общее решение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$

Теперь найдем все решения на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$:

Для $n = 0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$$

Это значение лежит в интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$.

Для $n = 0$:

$$x_2 = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$$

Это значение лежит в интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$.

Для $n = 1$:

$$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.069$$

Это значение также лежит в интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$.

Для $n = 1$:

$$x_4 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.497$$

Это значение также лежит в интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$.

Для $n = 2$:

$$x_5 = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13.351$$

Это значение не лежит в интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$.

Ответ:

Значения $x$ на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; 12 \right)$:

$$\boxed{\frac{\pi}{4}; \, \frac{7\pi}{4}; \, \frac{9\pi}{4}; \, \frac{15\pi}{4}}$$

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решение:

Косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов вида:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так что:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$

Теперь находим все решения на интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$:

Для $n = 0$:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{4}$$

Это значение лежит в интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$.

Для $n = 0$:

$$x_2 = -\frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$.

Для $n = 0$:

$$x_3 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение также лежит в интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$.

Ответ:

Значения $x$ на интервале $\left( -4; \frac{5\pi}{4} \right)$:

$$\boxed{-\frac{5\pi}{4}; \, -\frac{3\pi}{4}; \, \frac{3\pi}{4}}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

б) $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$

в) $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$

г) $-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$